Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 16

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, ${}q\in \mathbb {Z}$ und ${}a\neq 0$. Zeige

${}\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-q)\cong \mathbb {Q} [Y]/(Y^{n}-a^{n}q)\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}q\geq 2$ eine natürliche Zahl. Bestimme für die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)\,$

und ein Element ${}a+bx+cx^{2}$ die Multiplikationsmatrix bezüglich der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,x,x^{2}$, das charakteristische Polynom, die Norm und die Spur.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine quadratfreie Zahl ${}\geq 2$. Zeige, dass ${}\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-b^{2})$ nicht normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}q\geq 2$ und ${}L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$. Bestimme die Anzahl der reellen und die Anzahl der komplexen Einbettungen von ${}L$.

Aufgabe

Analysiere die Fasern über ${}(p)$ zu ${}\mathbb {Z} \subseteq R$, wobei ${}R$ der Zahlbereich zur kubischen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ der Ganzheitsring zur kubischen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$. Zeige, dass die Faser über ${}(3)$ aus mehr als einem Punkt bestehen kann.

Aufgabe *

Es sei ${}q$ eine Primzahl mit ${}q=\pm 1\mod 9$ und

${}R=\mathbb {Z} [x,z]\subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-q\right)}\,$

mit ${}z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}$ der zugehörige kubische Zahlbereich, siehe Korollar 16.2. Bestimme Darstellungen für ${}x^{2},xz,z^{2}$ bezüglich der Ganzheitsbasis ${}1,x,z$.

Aufgabe *

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen mit ${}a=\pm b\mod 9$. Es sei ${}x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$, ${}y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$ und ${}z={\frac {1+ax+x^{2}}{3}}$. Bestimme eine Ganzheitsbasis des zugehörigen Zahlbereichs zu ${}L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})$ der Form ${}1,z,w$.

Drücke ${}x$ und ${}y$ durch die neue Basis aus.

Aufgabe

Es sei ${}R$ der Zahlbereich zu einer kubischen Erweiterung. Zeige, dass ${}R$ eine Restklassenbeschreibung mit (maximal) drei Variablen und drei Gleichungen besitzt.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b$ verschiedene quadratfreie Zahlen ${}\neq 1$, die beide den Rest ${}1$ modulo ${}4$ haben. Es sei ${}x={\frac {1+{\sqrt {a}}}{2}}$ und ${}y={\frac {1+{\sqrt {b}}}{2}}$. Zeige, dass ${}z={\frac {1+{\sqrt {ab}}}{2}}$ zu ${}\mathbb {Z} [x,y]$ gehört.