Zahlbereich/Spur und Norm/Einführung/Textabschnitt

Zu einer -Algebra definiert jedes Element einen -Modulhomomorphismus , , die Multiplikationsabbildung. Wenn eine endlich erzeugte freie -Algebra ist, ihre additive Struktur also die Form besitzt, so wird dieser Multiplikationshomomorphismus bezüglich einer -Basis von durch eine -Matrix beschrieben, die die Multiplikationsmatrix (zu bezüglich dieser Basis) heißt. In diesem Fall kann man Konzepte der Matrixtheorie der linearen Algebra auf diese Multiplikationsabbildung anwenden. Diese Situation liegt bei einer endlichen Körpererweiterung vor, aber auch ein Zahlbereich ist stets nach Fakt eine freie -Algebra. Aber auch wenn Integritätsbereiche sind mit endlich erzeugt als -Modul, so kann man auch im nichtfreien Fall über die Quotientenkörper die folgenden Konzepte anwenden.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und sei eine kommutative endliche freie -Algebra. Zu einem Element nennt man die Spur des -Modulhomomorphismus

die Spur von . Sie wird mit bezeichnet.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und sei eine kommutative endliche freie -Algebra. Zu einem Element nennt man die Determinante des -Modulhomomorphismus

die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.

Bei einer freien -Algebra ist die Spur

-linear und insbesondere additiv und die Norm

ist multiplikativ. Darin liegen ihre jeweiligen Bedeutungen, dass mit ihrer Hilfe additive bzw. multiplikative Eigenschaften von in widergespiegelt werden können. Einen Ringhomomorphismus von nach gibt es nur sehr selten, deshalb sind Spur und Norm in gewissem Sinne optimal.