Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 17

Aufgaben

Aufgabe *

Schreibe den ${}5$-ten Kreisteilungskörper ${}K_{5}$ als quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$.

Aufgabe *

Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper ${}K_{13}$?

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte das Polynom

${}P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.$

Zeige, dass ${}P$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}L$ der neunte Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$. Zeige

${}L\cap \mathbb {R} \cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$ und

${}L_{n}=K_{n}\cap \mathbb {R} \,.$

Zeige, dass bei ${}n\geq 3$ die Körpererweiterung ${}L_{n}\subseteq K_{n}$ den Grad ${}2$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ ungerade. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper mit dem ${}2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ für ${}n\leq 15$.

Aufgabe

Zeige, dass für ${}n\geq 2$ der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ immer ${}1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass für verschiedene ${}n$ auch die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ verschieden sind, dass aber die Kreisteilungskörper gleich sein können.

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Gleichung

${}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ (in ${}{\mathbb {C} }$) der ${}n$-te Kreisteilungskörper und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente ${}\zeta ^{i}$, ${}i\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.

a) Zeige, dass für eine Primzahl ${}n=p$ diese Elemente eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$ bilden.

b) Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n=p^{2}$. Zeige, dass diese Elemente keine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$, ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.

1. Zeige, dass für jedes ${}k$ die (benachbarten) Einheitswurzeln

   $\zeta ^{k},\zeta ^{k+1},\ldots ,\zeta ^{k+{\varphi (n)}-1}$

   eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}K_{n}$.

2. Bilden die primitiven ${}n$-ten Einheitswurzeln stets eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$?

Aufgabe

Bestimme die Norm und die Spur der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln im ${}n$-ten Kreisteilungskörper.

Aufgabe

Es sei ${}\zeta _{n}\in {\mathbb {C} }$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel, und ${}K=\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$ der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es galoissche Körpererweiterungen ${}K\subseteq L$ gibt, deren Galoisgruppe zyklisch der Ordnung ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom ${}X^{4}+1$ über allen endlichen Primkörpern ${}\mathbb {F} _{p}$ reduzibel ist.

Hinweis: Zeige, dass ${}{\mathbb {F} }_{p^{2}}$ für ${}p\neq 2$ bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}a$ der größte gemeinsame Teiler von ${}n$ und ${}q-1$. Zeige, dass es in ${}{\mathbb {F} }_{q}$ genau ${}a$ ${}n$-te Einheitswurzeln gibt.

Man folgere, dass es ${}n$ ${}n$-te Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {F} }_{q}$ genau dann gibt, wenn ${}n$ ein Teiler von ${}q-1$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n$ eine natürliche Zahl, die wir als ${}n=kp^{a}$ schreiben mit ${}k$ und ${}p$ teilerfremd. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}{\mathbb {F} }_{p}$ gleich ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ist (mit $q=p^{e}$), wobei ${}q$ die minimale echte Potenz von ${}p$ mit der Eigenschaft ist, dass ${}q-1$ ein Vielfaches von ${}k$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches ${}q$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K_{p}$ der ${}p$-te Kreisteilungskörper zu einer Primzahl ${}p$ und sei ${}\zeta$ eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel. Bestimme die Übergangsmatrix und ihre Determinante für die ${}\mathbb {Q}$- Basen ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ und ${}\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}$ von ${}K_{p}$.

Aufgabe *

Bestimme die Zwischenkörper des ${}7$-ten Kreisteilungskörpers ${}K_{7}$. Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.

Aufgabe

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper, ${}n\geq 3$. Zeige, dass es einen Zwischenkörper ${}L$, ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq K_{n}$, gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\zeta$ eine primitive ${}7.$ Einheitswurzel. Wir betrachten das Element

${}y=\zeta +\zeta ^{2}-\zeta ^{3}+\zeta ^{4}-\zeta ^{5}-\zeta ^{6}\in \mathbb {Z} [\zeta ]=R_{7}\,$

im siebten Kreisteilungsring.

1. Skizziere ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3},\zeta ^{4},\zeta ^{5},\zeta ^{6}$ und verorte ${}y$ geometrisch.
2. Berechne ${}y^{2}$.
3. Bestimme einen quadratischen Zahlbereich, der im siebten Kreisteilungsring enthalten ist.

Für eine weitgehende Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes siehe Lemma 23.8.

Aufgabe

Analysiere für den zwölften Kreisteilungsring ${}R_{12}$ das Zerlegungsverhalten für die Primzahlen ${}p\leq 20$. Studiere dabei auch das Zerlegungsverhalten in den Zwischenringen ${}R_{3}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]$, ${}R_{4}=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ und ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$.