Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.
Ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt \definitionswort {vollkommen}{,} wenn jedes
\definitionsverweis {irreduzible Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossene Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Zeige, dass $K$ genau dann \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} auf $K$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Körper
\mathl{{\mathbb F}_p(X)}{} der rationalen Funktionen nicht
\definitionsverweis {vollkommen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{,}
dass der
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2,5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {verzweigt}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verzweigt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige mit Hilfe der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{,}
dass der
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { \Z[Y] / { \left( Y^4-Y^3-4Y^2+4Y+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {verzweigt}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{3,5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verzweigt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^3+2X-1
}
{ \in }{\Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
in $\Q[X]$ das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
erzeugen. Man gebe explizit eine Darstellung der $1$ an.
}{Zeige, dass das von
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
erzeugte Ideal in $\Z[X]$ eine minimale positive ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthält.
}{Bestimme, für welche
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
$p$ der
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
\mathl{\Z/(p)[X]/ { \left( X^3+2X-1 \right) }}{}
\definitionsverweis {reduziert}{}{}
ist.
}{Bestimme für diejenigen Primzahlen $p$, für die der Faserring nicht reduziert ist, die Primfaktorzerlegung von $X^3+2X-1$ in
\mathl{\Z/(p)[X]}{.}
}{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^3+2X-1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endliche Erweiterungen}{}{}
von
\definitionsverweis {Dedekindbereichen}{}{.}
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$, das in $S$
\definitionsverweis {verzweigt}{}{.}
Zeige, dass dann ${\mathfrak p}$ auch in $T$ verzweigt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ineinander enthaltene
\definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{.}
Zeige, dass ein Primteiler der
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
von $S$ auch ein Teiler der Diskriminante von $T$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
zu einer ungeraden
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$. Zeige unter Verwendung von
Aufgabe 17.20,
Aufgabe 18.11,
Lemma 17.16
und
Lemma 9.9,
dass $R$ die Quadratwurzel aus
\mathl{(-1)^{(p-1)/2} p}{} enthält.
}
{} {}