Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme
\mathl{\Omega_{ {\mathbb C} {{|}} \R }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ L {{|}} K }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme
\mathl{\Omega_{ \Z[ { \mathrm i} ] {{|}} \Z }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n ]/ { \left( X_n- f { \left( X_1 , \ldots , X_{n-1} \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R[X_1 , \ldots , X_{n-1} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die Nullstellenmenge ist also der Graph zu $f$} {} {.}
Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} ein freier
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$n-1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]/(XY)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R {{|}} K }}{} im Nullpunkt nicht
\definitionsverweis {frei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $A$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A_S {{|}} A }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{B
}
{ \subseteq }{A_S
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zwischenring. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ B {{|}} A }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[X]
}
{ \subseteq }{L[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige endliche Erweiterung der
\definitionsverweis {Polynomringe}{}{}
in einer Variablen. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ L[X] {{|}} K[X] }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere Lemma 19.3 für einen Grundkörper $K$ und einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {K[Y]} {K[X] } {Y} {F(X) } {,}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $A$ eine \definitionsverweis {kommutative}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {universellen Derivation}{}{} \maabbeledisp {} {A} { \Omega_{ R {{|}} A } } {f} { df } {,} eine $R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{} von $A$ ist.
}
{} {}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Ann}
_{ R } { \left( x \right) }
}
{ =} { { \left\{ r \in R \mid rx = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionswort {Annullator}{}
von $x$.
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Der
\definitionswort {Annullator}{}
von $M$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Ann}
_{ R } { \left( M \right) }
}
{ =} { { \left\{ r \in R \mid rx = 0 \text{ für alle } x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Annullator}{}{}
des
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} gleich ${\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{IM
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ in natürlicher Weise ein
\mathl{R/I}{-}Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[X]/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {monogene}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ = }{ \operatorname{Ann}
_{ } { \left( dX \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Annullator}{}{}
von $dX$ im
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A {{|}} R }
}
{ \cong} { A/ {\mathfrak b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die den
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R {{|}} \Z }}{}
\definitionsverweis {annulliert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R {{|}} \Z }}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Annullator}{}{}
von $\Omega_{ R {{|}} \Z }$ von einem Element erzeugt wird, und dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines solchen Erzeugers im Betrag mit der
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
des Zahlbereiches übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A_D$ der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zur quadratfreien Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Elemente des
\definitionsverweis {Moduls der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ A_D {{|}} \Z }}{} gleich
\mathdisp {( a+b \sqrt{D}) d \sqrt{D},\, a =0,1,2 , \ldots , 2D-1, \, b=0,1,} { }
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $A_D$ der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zur quadratfreien Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Elemente des
\definitionsverweis {Moduls der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ A_D {{|}} \Z }}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{A_D
}
{ = }{ \Z[y] / { \left( y^2-y - { \frac{ D-1 }{ 4 } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß
Satz 9.8} {} {}
gleich
\mathdisp {a dy,\, a =0,1,2 , \ldots , \betrag { D } -1,} { }
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{S
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ringerweiterung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(S)
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $R$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $S$ in $K$. Zeige, dass die natürliche Abbildung
\maabbeledisp {} { \Omega_{ S {{|}} \Z } \otimes_{ \Z } R } { \Omega_{ R {{|}} \Z }
} {ds \otimes r} { rds
} {,}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine quadratfreie Zahl $\neq 1$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { \Z[\sqrt{D}]
}
{ \subseteq} { R
}
{ =} {\Z[ { \frac{ 1+\sqrt{D} }{ 2 } } ]
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass in
\mathl{\Omega_{ R {{|}} \Z }}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1+\sqrt{D} }{ 2 } } d \sqrt{D}
}
{ =} { d { \frac{ 1+\sqrt{D} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige anhand der Ringerweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z
}
{ \subseteq }{ \Z[ \sqrt{-3} ]
}
{ = }{S
}
{ \subseteq }{ \Z[ { \frac{ 1+ \sqrt{-3} }{ 2 } } ]
}
{ = }{R
}
}
{}{}{,}
dass in
Lemma 19.3
die Abbildung
\maabbeledisp {} {\Omega_{ S {{|}} \Z } \otimes_{ S } R } { \Omega_{ R {{|}} \Z }
} {ds \otimes r} { rds
} {,}
nicht injektiv sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
$\Omega_{ \Z[ { \mathrm i}] {{|}} \Z }$ zum Ring der
\definitionsverweis {Gaußschen Zahlen}{}{.}
Zeige, dass es zu dem Kähler-Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\omega
}
{ =} { { \mathrm i} d { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Z[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{df
}
{ = }{ \omega
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A_D$ der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zur quadratfreien Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es zu jedem
\definitionsverweis {Kähler-Differential}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{ \Omega_{ A_D {{|}} \Z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{df
}
{ =} { \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme zum
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{ R
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
und den
\definitionsverweis {Verzweigungsort}{}{.}
Bestimme ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_p
}
{ =} {\Z[X]/ { \left( X^{p-1} + \cdots + X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.}
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^{p-2} dX
}
{ =} { { \left( \sum_{k = 0}^{p-3} (k+1)X^k \right) } dX
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_p
}
{ =} {\Z[X]/ { \left( X^{p-1} + \cdots + X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
$R_p$ der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Beispiel 19.8} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R_p {{|}} \Z }
}
{ \cong} {\Z/(p) [X] / (X-1)^{p-2} dX
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \left( a_{p-3} X^{p-3} + \cdots + a_2X^2+ a_1 X+ a_0 \right) } dX
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ a_j
}
{ < }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R_p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{df
}
{ = }{ \omega
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ = }{ \Z[X] { \left( X^n-a \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reine Wurzelerweiterung von $\Z$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
$\Omega_{ R {{|}} \Z }$ durch $an$
\definitionsverweis {annulliert}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_8
}
{ = }{\Z[X]/ { \left( X^{4} +1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der achte
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R_8 {{|}} \Z }}{} von $4$ annulliert wird, aber nicht von $2$. Beschreibe die Modulstruktur von
\mathl{\Omega_{ R_8 {{|}} \Z }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe den
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R_9 {{|}} \Z }}{} und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_9
}
{ = }{ \Z[Y]/ { \left( Y^6+Y^3+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den neunten
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
bezeichnet.
}
{} {Dabei ist
Aufgabe 2.31
hilfreich.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe den
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R_9 {{|}} R_3 }}{} und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei $R_n$ den $n$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Studiere
Lemma 19.3
am Beispiel der
\definitionsverweis {Kreisteilungsringe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{ R_3
}
{ \subseteq }{ R_9
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe den
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R_{p^r} {{|}} R_p }}{} und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei $R_n$ den $n$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $R_p$ der $p$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {universellen Derivation}{}{} \maabbeledisp {d} {R_p} { \Omega_{ R_p {{|}} \Z } } {f} {df } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {universellen Derivation}{}{}
\maabbeledisp {d} {R} { \Omega_{ R {{|}} \Z }
} {f} {df
} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $S$ gleich $Q(R)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { A_{-15}
}
{ =} { \Z[ { \frac{ 1+ \sqrt{-15} }{ 2 } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu $-15$ und $S$ der Zahlbereich zu
\mathl{\Q[ \sqrt{3}, \sqrt{-5} ]}{,} der $R$ enthält. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ S {{|}} R }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}