Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\R
}
{ =} { { \left\{ z \in \R[ { \mathrm i} ] \cong {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\R/\Z}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
eines
\definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es eine
$\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \R^n} { \R^n
} {}
gibt, die einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2
} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{\Gamma_1, \Gamma_2 \subseteq \R^n}{} rationale
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es eine
$\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \Q^n} { \Q^n
} {}
gibt, die einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2
} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
rationale
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es ein rationales Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sind alle Vierecke \definitionsverweis {konvex}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Durchschnitt von \definitionsverweis {konvexen}{}{} Mengen wieder konvex ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $U$ eine Teilmenge des $\R^n$. Zeige, dass ein Punkt
\mathl{Q \in \R^n}{} genau dann zur konvexen Hülle von $U$ gehört, wenn es endlich viele Punkte
\mathl{P_i \in U}{,}
\mathl{i \in I}{,} und reelle Zahlen $r_i$,
\mathl{i \in I}{,} mit
\mathl{r_i \in [0,1]}{,}
\mathl{\sum_{i \in I}r_i =1}{} und mit
\mathdisp {Q= \sum_{i \in I} r_i P_i} { }
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Es sei $Y$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass $Y$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_1 , \ldots , Y_n
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n Y_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \notin }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U,V
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y,Z
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{,}
die zueinander
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
seien. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U,V
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y,Z
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{,}
die zueinander
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
seien. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für beliebige Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abstandsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d(P,Q)
}
{ \geq }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X,Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.}
Zeige, dass es Punkte
\mathkor {} {x \in X} {und} {y \in Y} {}
mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte
\mathkor {} {P \in X} {und} {Q \in Y} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,y)
}
{ \leq} { d(P,Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {Tipp: Betrachte die Produktmenge
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ S \times T
}
{ \subseteq }{ \R^{n} \times \R^n
}
{ \cong }{ \R^{2n}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und darauf die Abbildung
\mathl{(x,y) \mapsto \sum_{i =1}^n (x_i-y_i)^2}{.} Argumentiere dann mit
Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere zum Gitter $\Z^2$ in $\R^2$ drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen \definitionsverweis {konvex}{}{,} \definitionsverweis {kompakt}{}{} und \definitionsverweis {zentralsymmetrisch}{}{} erfüllen.
}
{} {}