Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{ $R$ ist
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R)
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}
Dann ist $R$ der
\definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{}
von $L$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Man gebe Beispiele für Unterringe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die je zwei der folgenden Eigenschaften erfüllen, aber nicht die dritte.
\aufzaehlungdrei{$R$ ist
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R)
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Courbe quatrième degré 07.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Courbe quatrième degré 07.png } {} {Lydienoria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Der abgebildete Graph gehört zu einem normierten ganzzahligen Polynom $F$. Kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
sein?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei $S$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.}
Zeige, dass $S$ ebenfalls ein Zahlbereich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen Zahlbereichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Zwischenkörpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{\mathkor {} {R} {und} {S} {}
sind
\definitionsverweis {isomorph}{}{.}
}{Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
beide nicht $0$, derart, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahmen}{}{}
\mathkor {} {R_f} {und} {S_g} {}
zueinander isomorph sind.
}{Es gibt ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}}{} von $R$ und ein Primideal ${\mathfrak q}$ von $S$ derart, dass die
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
\mathkor {} {R_{\mathfrak p}} {und} {S_{\mathfrak q}} {}
zueinander isomorph sind.
}{Die
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathkor {} {Q(R)} {und} {Q(S)} {}
sind isomorph.
}
}
{} {}
In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:
Ein Polynom
\mathl{F \in \Z[X]}{} heißt
\definitionswort {primitiv}{,} wenn die Koeffizienten von $F$ teilerfremd sind.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{\Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass man $F$ als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{n \tilde{F}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und primitivem $\tilde{F}$ schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{\Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Dann ist $F$, aufgefasst als Polynom in $\Q[X]$, ebenfalls irreduzibel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{F,G \in \Z[X]}{}
\definitionsverweis {primitive Polynome}{}{.} Zeige, dass dann auch das Produkt $FG$ primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{\Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { (F)
}
{ \in} { \operatorname{Spek} { \left( \Q[X] \right) }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Spek} { \left( \Z[X] \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme
\maabb {} { \Z[X] } { \Q[X]
} {}
im Sinne von
Proposition 5.4 (3)
gehört. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von ${\mathfrak p}$ in
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( \Z[X] \right) }}{} gleich $V( {\mathfrak a} )$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left\{ qF \mid q \in \Q , \, qF \in \Z[X] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Zeige ferner, dass zu isomorphen Restekörpern
\mathkor {} {\kappa ( {\mathfrak p}_1)} {und} {\kappa ( {\mathfrak p}_2 )} {}
die Restklassenringe
\mathkor {} {R/ {\mathfrak a}_1} {und} {R/ {\mathfrak a}_2} {}
nicht isomorph sein müssen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element
\mathl{7x^2-4x+5}{} in der kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[X]/ { \left( X^3-6X^2+5X-8 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element
\mathl{7x^2+3x-8}{} in der kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ =} {\Q[X]/ { \left( X^3+9X^2-2X+5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{p,q}{} verschiedene
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}]
}
{ \defeqr} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element
\mathl{a + b \sqrt{p} +c \sqrt{q} +d \sqrt{pq} \in L}{} bezüglich der Basis
\mathl{1, \sqrt{p} , \sqrt{q}, \sqrt{pq}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[ \sqrt{3} ]
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu
\mathl{-4+9 \sqrt{3}}{} bezüglich der
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1, \sqrt{3}}{} von $L$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {L} {\operatorname{End}_{ K } \, (L)
} {f} { \mu_f
} {,}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Es sei
\mathl{f \in M}{} und $B$ die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung
\maabb {\mu_f} {M} {M
} {}
bezüglich einer
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $M$. Zeige, dass bezüglich einer geeigneten $K$-Basis von $L$ die Multiplikationsabbildung
\maabb {\mu_f} {L} {L
} {}
durch eine Blockmatrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} B & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & B & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & B \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Definition Anhang 6.2 der Spur eines \definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{} des \definitionsverweis {freien Moduls}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $B$ eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix über $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( A \circ B \right) }
}
{ =} { \operatorname{Spur} { \left( B \circ A \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die $\operatorname{Spur} { \left( M \right) }$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$ mit der Eigenschaft, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
in Linearfaktoren zerfällt, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdot (X- \lambda_2)^{\mu_2} { \cdots } (X-\lambda_k)^{\mu_k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } \mu_i \lambda_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit $n$
\zusatzklammer {paarweise} {} {}
verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $M$ die Summe der Eigenwerte ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl. Betrachte die
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {L
}
{ =} {\Q [X]/(X^3-p)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vom Grad $3$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{aX^2+bX+c
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element davon mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne das Minimalpolynom von $f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von $f$.
Welche Bedingungen an
\mathl{a,b,c}{} ergeben sich aus der Voraussetzung, dass $f$ ganz über $\Z$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe für die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Konzepte
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und
\definitionsverweis {Spur}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
und dem
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
einer komplexen Zahl in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für das Element
\mathl{2+4x+5x^2}{} in der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ X ]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ \defeqr} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und die
\definitionsverweis {Spur}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kette von
\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterungen}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Normen}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N^L_K
}
{ =} { N^M_K\circ N^L_M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2)
}
{ \subseteq} { \Z/(2) [X]/ { \left( X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis $1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(3)
}
{ \subseteq} { \Z/(3) [X]/ { \left( X^2-2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis $1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und
\mathl{f \in L}{.} Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der
$K$-\definitionsverweis {linearen}{}{}
\definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{}
\maabbdisp {\mu_f} {L} {L
} {}
grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ X^n-c
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a_{n-1} X^{n-1} + a_{n-2}X^{n-2} + \cdots + a_1X+ a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Element in der
\definitionsverweis {einfachen}{}{}
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $n$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $f$ gleich $na_0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathdisp {L=\Q[X]/ { \left( X^3-p \right) }} { }
der durch das irreduzible Polynom
\mathl{X^3-p}{} definierte Erweiterungskörper von $\Q$. Es sei
\mathdisp {f=2+3x-4x^2} { . }
\aufzaehlungfuenf{Finde die Matrix bezüglich der $\Q$-Basis
\mathl{1,x,x^2}{} von $L$ der durch die Multiplikation mit $f$ definierten $\Q$-linearen Abbildung.
}{Berechne die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und die Spur von $f$.
}{Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$.
}{Finde das Inverse von $f$.
}{Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
der Basis
\mathl{1,f,f^2}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
\mathl{f \in L}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{K[f]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung
\maabbdisp {\mu_f} {L} {L
} {}
eine Potenz des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{}
von $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und sei
\maabbdisp {\rho} {L} { {\mathbb C}
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass für jeden
\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
auch
\mathl{\rho \circ \varphi}{} ein Ringhomomorphismus nach ${\mathbb C}$ ist, und dass daher die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
von $L$ auf der Menge der komplexen Einbettungen von $L$
\definitionsverweis {operiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass genau dann eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
vorliegt, wenn die Bildkörper unter allen
\definitionsverweis {komplexen Einbettungen}{}{}
von $L$ übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}