Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Reine kubische Gleichungen}
Wir interessieren uns für den Ganzheitsring zur reinen kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{ \Q[X]/(X^3-q)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn in der Primfaktorzerlegung von $q$ eine Primzahl $p$ mit einem Exponenten $\geq 3$ vorkommt, so kann man $p^3$ vorziehen und erhält mit der neuen Variablen $pX$ eine neue Darstellung der Körpererweiterung. Deshalb gehen wir direkt davon aus, dass in $q$ nur Primzahlen mit einem Exponenten
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
vorkommen. Wir können also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ ab^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
quadratfrei und zueinander teilerfremd ansetzen.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
natürliche Zahlen, nicht beide $1$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ \Q[X]/(X^3-ab^2)
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige kubische
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \sqrt[3]{ab^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ \sqrt[3]{a^2b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{\mathkor {} {x} {und} {y} {}
sind
\definitionsverweis {ganze Elemente}{}{}
in $L$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \Z[x,y]
}
{ \cong} { \Z[X,Y]/(XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX)
}
{ =} { \Z[X,Y]/(X^3-ab^2,Y^3-a^2b,XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX)
}
{ =} { S
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{ \pm b \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, so ist $S$ der
\definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{}
von $L$, und $1,x,y$ bilden eine
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ \pm b \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1+ax+by \right) }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1+ax+x^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Ganzheitsring, und
\mathl{x,y,z}{} bilden eine Ganzheitsbasis.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das Polynom besitzt
\mathl{X^3-ab^2}{} keine rationale Nullstelle, ist also irreduzibel und somit liegt eine Körpererweiterung vom Grad $3$ vor.
\aufzaehlungvier{Es ist unmittelbar klar, dass $x$ zu $L$ gehört und eine Ganzheitsgleichung erfüllt. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \sqrt[3]{a^2b}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ b } } \sqrt[3]{ab^2}^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ b } } x^2
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $y$ gehört ebenfalls zu $L$, die Ganzheit ist klar.
}{Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^3
}
{ = }{ bY X
}
{ = }{ ab^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen auch diese kubischen Terme in dem Ideal. Wir haben durch
\mathl{X \mapsto x}{} und
\mathl{Y \mapsto y}{} einen surjektiven Ringhomomorpismus
\maabbdisp {} {S = \Z[X,Y]/(XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX) } { \Z[x,y]
} {,}
da
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
die angegebenen Relationen erfüllen. Diese Relationen zeigen auch, dass rechts die Gruppe
\mathl{\Z \oplus \Z x \oplus \Z y}{} steht, da man alle Produkte darin schon ausdrücken kann. Eine weitere Relation kann es nicht geben, da $1,x,y$ über $\Q$ linear unabhängig sind.
}{Wir zeigen nun, dass $S$ unter der angegebenen Bedingung normal ist. Wenn eine Primzahl $p$ weder in
\mathkor {} {a} {noch in} {b} {}
vorkommt und nicht $3$ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_{ \Z \setminus (p) }
}
{ =} { \Z_{(p)} [X,Y]/(XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX)
}
{ \cong} { \Z_{(p)} [X]/(X^3-ab^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ { \frac{ X^2 }{ b } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben und überall ersetzen kann, da $b$ in $\Z_{(p)}$ eine Einheit ist. Die entstehenden Erzeuger sind
\mathl{X^3-ab^2}{} und Vielfache davon. Die Faser über $p$ ist somit
\mathl{\Z/(p) [X]/(X^3-u)}{} mit einer Einheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das beschreibende Polynom $X^3 -u$ und seine Ableitung $3X^2$ erzeugen das Einheitsideal
\zusatzklammer {die Faser über $p$ ist also reduziert} {} {}
und damit ist nach
Korollar 15.2
die Nenneraufnahme von $S$ an $\Z \setminus (p)$ normal.
Es sei nun $p$ ein Teiler von $a$
\zusatzklammer {wobei der Fall
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{p
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erlaubt ist} {} {.}
Dann ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S_{ \Z \setminus (p) }
}
{ \cong }{ \Z_{(p)} [X]/(X^3-ab^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{.}
Modulo $p$ ist dies
\mathl{\Z/(p) [X]/(X^3)}{,} somit ist das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ gleich $(p,X)$. Da wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {p \cdot c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {a} {und} {c} {}
teilerfremd schreiben können, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} { { \frac{ X^2 }{ cb^2 } } X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher wird dieses Primideal von $X$ erzeugt. Diese Nenneraufnahmen sind also auch normal.
Betrachten wir nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nehmen weiter an, dass $3$ weder in
\mathkor {} {a} {noch in} {b} {}
vorkommt. Dann kann man wieder die Nenneraufnahme monogen als
\mathl{\Z_{(3)} [X]/(X^3-ab^2)}{} beschreiben. Modulo $3$ ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(3) [X] /(X^3-ab^2)
}
{ =} { \Z/(3) [X] /(X-ab^2)^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit liegt über $(3)$ das einzige Primideal
\mathl{(3, X-ab^2)}{.} Wir bestimmen, unter welchen Bedingungen
\mathl{X-ab^2}{} ein Erzeuger dieses Ideals ist. Der Ring
\mathl{\Z_{(3)} [X]/(X^3-ab^2)}{} modulo
\mathl{X-ab^2}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z_{(3)} /( (ab^2)^3-ab^2)
}
{ =} { \Z_{(3)} /( (ab^2)^2-1)
}
{ =} { \Z_{(3)} /( (ab^2+1) (ab^2-1) )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da in unserem Fall
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
Einheiten sind. Es geht darum, ob dieser Ring gleich $\Z/(3)$ ist oder nicht, und somit geht es darum, ob die Ordnung von
\mathl{(ab^2+1) (ab^2-1)}{} gleich $1$ oder höher ist. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 9u +r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ 9v +s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachten zuerst den Fall, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{1,4,7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab^2+1
}
{ \neq }{ 0 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ab^2-1
}
{ = }{ (9u +r)(9v +s )^2-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten. Modulo $9$ ist dies
\mathl{rs^2-1}{.} Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rs^2
}
{ =} { 1 \mod 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau in den Fällen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(r,s)
}
{ =} { (1, \pm 1), (4, \pm 4), (7, \pm 7 )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{2,5,8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab^2-1
}
{ \neq }{ 0 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ab^2+1
}
{ = }{ (9u +r)(9v +s )^2+1
}
{ = }{ rs^2 +1 \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rs^2
}
{ =} { -1 \mod 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau in den Fällen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(r,s)
}
{ =} { (2, \pm 2), (5, \pm 5), (8, \pm 8 )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Unter der Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{ \pm b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist also der Exponent der $3$ in
\mathl{(ab^2+1) (ab^2-1)}{} genau $1$. Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3
}
{ \in }{(X-ab^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das einzige Primideal oberhalb von $(3)$ ist in der Lokalisierung auch ein Hauptideal.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1+ax+by \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1+ax+x^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms dieses Elementes sind nach
Aufgabe 16.2
gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( z \right) }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 9 } } { \left( 3 - 3 a ab^2 \right) }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1 - a^2 b^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 27 } } { \left( 1 - 3a ab^2 +a^3 ab^2 + (ab^2)^2 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 27 } } { \left( 1 - 3a^2b^2 +a^4b^2 + a^2b^4 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 27 } } { \left( 1 + a^2b^2 (-3 + a^2 + b^2) \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Unter der Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ \pm b \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2
}
{ = }{b^2
}
{ = }{1,4,7 \mod 9
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2
}
{ = }{ 9 m+t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^2
}
{ = }{ 9n+t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In diesen Fällen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 - a^2 b^2
}
{ =} { \begin{cases} 0 \text{ bei } t = 1 \, , \\ - 15 \text{ bei } t = 4 \, , \\ -48 \text{ bei } t = 7 \end{cases} \mod 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also stets ein Vielfaches von $3$. Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1 + a^2b^2 ( a^2 + b^2-3 )
}
{ =} { 1 + { \left( 81mn +9(m+n)r +r^2 \right) } { \left( 9(m+n) + 2r -3 \right) }
}
{ =} { 1 + 81 A + 18 (m+n) r^2 - 27 (m+n) r +9(m+n) r^2 + 2r^3-3r^2
}
{ =} { 81 A +1 + 27 (m+n) r^2 - 27 (m+n) r + 2r^3-3r^2
}
{ =} { 81 A +1 + 27 (m+n) (r^2 -r) + 2r^3-3r^2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 81 A' +1 + 2r^3-3r^2
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{1,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies sogar ein Vielfaches von $81$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die hinteren Summanden zusammen gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+2 \cdot 7^3-3 \cdot 7^2
}
{ =} { 540
}
{ =} { 27 \cdot 20
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ein Vielfaches von $27$ und daher ist $z$ ganz.
Wir zeigen nun, dass die von $x,y,z$ erzeugte Algebra normal ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { k + mx+ nx^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k,m,n
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das über eine Ganzheitsgleichung erfüllt, und wir müssen zeigen, dass es zu
\mathl{\Z [x,y,z]}{} gehört. Aufgrund der Spurbedingung ist $3k$ ganzzahlig. Wir ziehen $z$
\zusatzklammer {oder $3z$} {} {}
von $w$ ab und können dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Die weiteren Koeffizientenbedingungen an das charakteristische Polynom besagen, dass
\mathkor {} {3mn q} {und} {m^3 q +n^3q^2} {}
ganzzahlig sind. Da $q$ kein Vielfaches von $3$ ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ (3) } \, (mn)
}
{ \geq} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ (3) } \, (m)
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ (3) } \, (n)
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ (3) } \, (m^3 +n^3q)
}
{ \geq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im ersten Fall folgt wegen der letzten Bedingung auch die Bedingung im zweiten Fall und umgekehrt, d.h. die Ordnung von
\mathkor {} {m} {und} {n} {}
an der Stelle $(3)$ ist $\neq 0$. Wegen der Normalität an den anderen Primzahlen folgt überhaupt, dass
\mathkor {} {m} {und} {n} {}
ganzzahlig sind.
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $q$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \neq }{ \pm 1 \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {was bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{2 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets der Fall ist} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{}
zur
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[X]/(X^3-q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich
\mathl{\Z[X]/(X^3-q)}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{1,-1 \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 1 +qx+x^2 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ganz über
\mathl{\Z[X]/(X^3-q)}{} mit dem Minimalpolynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T^3 -T^2 + { \frac{ 1-q^2 }{ 3 } } T - { \frac{ (q^2-1)^2 }{ 27 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In diesem Fall besitzt der Ganzheitsring die
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1,x, z}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist der Spezialfall von
Satz 16.1
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In diesem Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { \sqrt[3]{q^2}
}
{ =} { \sqrt[3]{q}^2
}
{ =} { x^2
}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { \Z[x]
}
{ =} { \Z[X]/(X^3-q)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[3]{2}]
}
{ =} {K
}
{ \subset} {\R
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Ganzheitsring ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[ \sqrt[3]{2}]
}
{ \cong} { \Z[X]/(X^3-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Korollar 16.2.
Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom
\mathl{X^3-2}{} über $K$
\zusatzklammer {und reell} {} {}
nicht zerfällt. Oberhalb von $(2)$ liegt das einzige Primideal
\mathl{(X)}{.} Für eine ungerade Primzahl $p$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{ 2 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind
\mathkor {} {p-1} {und} {3} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und daher ist die dritte Potenz
\maabbeledisp {} { \Z/(p) } { \Z/(p)
} {z} {z^3
} {,}
eine Bijektion. Insbesondere besitzt die $2$ eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel $a$ und es gibt eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3-2
}
{ =} { (X-a) (X^2+bX+c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Z/(p) [X]$, wobei der hintere Faktor
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist. Deshalb liegen über $(p)$ in der Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z
}
{ \subseteq }{ \Z[ \sqrt[3]{2}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits
\mathl{\Z/(p)}{} und andererseits
\mathl{{\mathbb F}_{ p^2 }}{} ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^3
}
{ =} {2 \mod 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3-2
}
{ =} {X^3+3
}
{ =} { (X+2)(X^2 + 3X + 4 )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Z[ \sqrt[3]{2}] \otimes_{ \Z } \Z/(5)
}
{ =} { \Z[X]/(X^3-2) \otimes_{ \Z } \Z/(5)
}
{ =} { \Z/(5) [X]/(X^3-2)
}
{ =} { \Z/(5) [X] /(X+2) \times \Z/(5) [X]/(X^2 + 3X + 4 )
}
{ \cong} {\Z/(5) \times {\mathbb F}_{ 25 }
}
}
{}
{}{.}
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {1 \mod 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $3$ ein Teiler von $p-1$ und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in $\Z/(p)$. Wenn die $2$ in $\Z/(p)$ eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper $\Z/(7)$ sind. Wenn die $2$ in $\Z/(p)$ keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit $p^3$ Elementen ist.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dritte Einheitswurzeln sind $1,2,4$. Die andere dritte Potenz ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6
}
{ =} {3^3
}
{ =} {5^3
}
{ =} {6^3
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h. $2$ ist keine dritte Potenz und
\mathl{\Z/(7)[X]/(X^3-2)}{} ist ein Körper mit $243$ Elementen.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{13
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die dritten Einheitswurzeln sind $1, 3, 9$. Die weiteren dritten Potenzen sind
\mathl{-1=12, 8=2^3, 5=11^3}{,} die $2$ ist also wieder keine dritte Potenz.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{19
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die dritten Einheitswurzeln sind $1, 7, 11$. Die weiteren dritten Potenzen sind
\mathl{-1=18, 8=2^3, 7=4^3, 11= 5^3, 12= 10^3}{,} die $2$ ist also wieder keine dritte Potenz.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{31
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die dritten Einheitswurzeln sind $1, 5, 25$.
Hier ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2
}
{ =} { 4^3
}
{ =} { 20^3
}
{ =} { 7^3
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h. es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Z[ \sqrt[3]{2}] \otimes_{ \Z } \Z/(31)
}
{ =} { \Z[ X]/(X^3-2) \otimes_{ \Z } \Z/(31)
}
{ =} { \Z/(31) [ X]/(X^3-2)
}
{ =} { \Z/(31) [ X]/(X-4)(X-7)(X-20)
}
{ \cong} {\Z/(31) \times \Z/(31) \times \Z/(31)
}
}
{}
{}{,}
die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper $\Z/(31)$ besitzen.
}
Die zusätzliche Ganzheitsgleichung ist bei einer Primzahl $q$ erstmals bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{17
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu berücksichtigen.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
zur
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[X]/(X^3-17)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dieser besitzt nach
Korollar 16.2
die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z[x,z]
}
{ \subseteq} { \Q[X](X^3-17)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { { \frac{ 1 +17 x+x^2 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wobei $z$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T^3-T^2 -96T -3072
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
\inputfaktbeweis
{Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
natürliche Zahlen, nicht beide $1$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ \Q[X]/(X^3-ab^2)
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige kubische
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{}
$R$.}
\faktuebergang {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
von $R$ folgende Beschreibung.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{ \pm b \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Diskriminante von $R$ gleich
\mathl{-27a^2b^2}{.}
} {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ \pm b \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Diskriminante von $R$ gleich
\mathl{-3a^2b^2}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \sqrt[3]{ab^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ \sqrt[3]{a^2b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 16.1
ist der Ganzheitsring gleich $\Z[x,y]$ und
\mathl{1,x,y}{} ist eine
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{,}
ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ x^2/b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir berechnen zuerst die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
zu
\mathl{1,x,x^2}{.} Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^3
}
{ = }{ab^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^4
}
{ = }{ ab^2x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Spur von $x$ und von $x^2$ ist gleich $0$, daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle(1 ,x, x^2 )
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3ab^2 \\0 & 3ab^2 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { -27 a^2b^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Übergangsmatrix zwischen $1,x,x^2$ und
\mathl{1,x,y}{} hat die Determinante
\mathl{1/b}{,} daher ist die Diskriminante des Zahlbereiches nach
Lemma 8.2
gleich
\mathl{-27 a^2b^2}{.}
Im zweiten Fall bleibt die bisherige Rechnung gültig, doch ist jetzt
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } } (1+ax+by) , x,y}{} eine Ganzheitsbasis. Die Übergangsmatrix zwischen den Basen
\mathkor {} {1,x,y} {und} {z,x,y} {}
ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ a }{ 3 } } & { \frac{ b }{ 3 } } \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
mit der Determinante ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. Dies ergibt den Faktor
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 9 } }}{.}