Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 16/latex

\setcounter{section}{16}






\zwischenueberschrift{Reine kubische Gleichungen}

Wir interessieren uns für den Ganzheitsring zur reinen kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ = }{ \Q[X]/(X^3-q) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn in der Primfaktorzerlegung von $q$ eine Primzahl $p$ mit einem Exponenten $\geq 3$ vorkommt, so kann man $p^3$ vorziehen und erhält mit der neuen Variablen $pX$ eine neue Darstellung der Körpererweiterung. Deshalb gehen wir direkt davon aus, dass in $q$ nur Primzahlen mit einem Exponenten \mathkor {} {1} {oder} {2} {} vorkommen. Wir können also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{ ab^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \mathkor {} {a} {und} {b} {} quadratfrei und zueinander teilerfremd ansetzen.





\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} \definitionsverweis {quadratfreie}{}{} natürliche Zahlen, nicht beide $1$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ \Q[X]/(X^3-ab^2) }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige kubische \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ \sqrt[3]{ab^2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{ \sqrt[3]{a^2b} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{\mathkor {} {x} {und} {y} {} sind \definitionsverweis {ganze Elemente}{}{} in $L$. }{Es ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \Z[x,y] }
{ \cong} { \Z[X,Y]/(XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX) }
{ =} { \Z[X,Y]/(X^3-ab^2,Y^3-a^2b,XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX) }
{ =} { S }
{ } { }
} {}{}{.} }{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{ \pm b \mod 9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, so ist $S$ der \definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{} von $L$, und $1,x,y$ bilden eine \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{.} }{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ \pm b \mod 9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gehört auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1+ax+by \right) } }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1+ax+x^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Ganzheitsring, und
\mathl{x,y,z}{} bilden eine Ganzheitsbasis. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Das Polynom besitzt
\mathl{X^3-ab^2}{} keine rationale Nullstelle, ist also irreduzibel und somit liegt eine Körpererweiterung vom Grad $3$ vor. \aufzaehlungvier{Es ist unmittelbar klar, dass $x$ zu $L$ gehört und eine Ganzheitsgleichung erfüllt. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { \sqrt[3]{a^2b} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ b } } \sqrt[3]{ab^2}^2 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ b } } x^2 }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. $y$ gehört ebenfalls zu $L$, die Ganzheit ist klar. }{Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^3 }
{ = }{ bY X }
{ = }{ ab^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegen auch diese kubischen Terme in dem Ideal. Wir haben durch
\mathl{X \mapsto x}{} und
\mathl{Y \mapsto y}{} einen surjektiven Ringhomomorpismus \maabbdisp {} {S = \Z[X,Y]/(XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX) } { \Z[x,y] } {,} da \mathkor {} {x} {und} {y} {} die angegebenen Relationen erfüllen. Diese Relationen zeigen auch, dass rechts die Gruppe
\mathl{\Z \oplus \Z x \oplus \Z y}{} steht, da man alle Produkte darin schon ausdrücken kann. Eine weitere Relation kann es nicht geben, da $1,x,y$ über $\Q$ linear unabhängig sind. }{Wir zeigen nun, dass $S$ unter der angegebenen Bedingung normal ist. Wenn eine Primzahl $p$ weder in \mathkor {} {a} {noch in} {b} {} vorkommt und nicht $3$ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_{ \Z \setminus (p) } }
{ =} { \Z_{(p)} [X,Y]/(XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX) }
{ \cong} { \Z_{(p)} [X]/(X^3-ab^2) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{ { \frac{ X^2 }{ b } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben und überall ersetzen kann, da $b$ in $\Z_{(p)}$ eine Einheit ist. Die entstehenden Erzeuger sind
\mathl{X^3-ab^2}{} und Vielfache davon. Die Faser über $p$ ist somit
\mathl{\Z/(p) [X]/(X^3-u)}{} mit einer Einheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{ \Z/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Das beschreibende Polynom $X^3 -u$ und seine Ableitung $3X^2$ erzeugen das Einheitsideal \zusatzklammer {die Faser über $p$ ist also reduziert} {} {} und damit ist nach Korollar 15.2 die Nenneraufnahme von $S$ an $\Z \setminus (p)$ normal.

Es sei nun $p$ ein Teiler von $a$ \zusatzklammer {wobei der Fall
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{p }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erlaubt ist} {} {.} Dann ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S_{ \Z \setminus (p) } }
{ \cong }{ \Z_{(p)} [X]/(X^3-ab^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{.} Modulo $p$ ist dies
\mathl{\Z/(p) [X]/(X^3)}{,} somit ist das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ gleich $(p,X)$. Da wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {p \cdot c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit \mathkor {} {a} {und} {c} {} teilerfremd schreiben können, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p }
{ =} { { \frac{ X^2 }{ cb^2 } } X }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher wird dieses Primideal von $X$ erzeugt. Diese Nenneraufnahmen sind also auch normal.

Betrachten wir nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und nehmen weiter an, dass $3$ weder in \mathkor {} {a} {noch in} {b} {} vorkommt. Dann kann man wieder die Nenneraufnahme monogen als
\mathl{\Z_{(3)} [X]/(X^3-ab^2)}{} beschreiben. Modulo $3$ ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(3) [X] /(X^3-ab^2) }
{ =} { \Z/(3) [X] /(X-ab^2)^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit liegt über $(3)$ das einzige Primideal
\mathl{(3, X-ab^2)}{.} Wir bestimmen, unter welchen Bedingungen
\mathl{X-ab^2}{} ein Erzeuger dieses Ideals ist. Der Ring
\mathl{\Z_{(3)} [X]/(X^3-ab^2)}{} modulo
\mathl{X-ab^2}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z_{(3)} /( (ab^2)^3-ab^2) }
{ =} { \Z_{(3)} /( (ab^2)^2-1) }
{ =} { \Z_{(3)} /( (ab^2+1) (ab^2-1) ) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da in unserem Fall \mathkor {} {a} {und} {b} {} Einheiten sind. Es geht darum, ob dieser Ring gleich $\Z/(3)$ ist oder nicht, und somit geht es darum, ob die Ordnung von
\mathl{(ab^2+1) (ab^2-1)}{} gleich $1$ oder höher ist. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ 9u +r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{ 9v +s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und betrachten zuerst den Fall, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{1,4,7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab^2+1 }
{ \neq }{ 0 \mod 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ab^2-1 }
{ = }{ (9u +r)(9v +s )^2-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten. Modulo $9$ ist dies
\mathl{rs^2-1}{.} Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rs^2 }
{ =} { 1 \mod 9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau in den Fällen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(r,s) }
{ =} { (1, \pm 1), (4, \pm 4), (7, \pm 7 ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{2,5,8 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab^2-1 }
{ \neq }{ 0 \mod 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ab^2+1 }
{ = }{ (9u +r)(9v +s )^2+1 }
{ = }{ rs^2 +1 \mod 9 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rs^2 }
{ =} { -1 \mod 9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau in den Fällen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(r,s) }
{ =} { (2, \pm 2), (5, \pm 5), (8, \pm 8 ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Unter der Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{ \pm b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist also der Exponent der $3$ in
\mathl{(ab^2+1) (ab^2-1)}{} genau $1$. Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3 }
{ \in }{(X-ab^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und das einzige Primideal oberhalb von $(3)$ ist in der Lokalisierung auch ein Hauptideal. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1+ax+by \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1+ax+x^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms dieses Elementes sind nach Aufgabe 16.2 gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( z \right) } }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 9 } } { \left( 3 - 3 a ab^2 \right) } }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1 - a^2 b^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N(z) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 27 } } { \left( 1 - 3a ab^2 +a^3 ab^2 + (ab^2)^2 \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 27 } } { \left( 1 - 3a^2b^2 +a^4b^2 + a^2b^4 \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 27 } } { \left( 1 + a^2b^2 (-3 + a^2 + b^2) \right) } }
{ } { }
} {} {}{.} Unter der Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ \pm b \mod 9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2 }
{ = }{b^2 }
{ = }{1,4,7 \mod 9 }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{,} wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2 }
{ = }{ 9 m+t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^2 }
{ = }{ 9n+t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} In diesen Fällen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 - a^2 b^2 }
{ =} { \begin{cases} 0 \text{ bei } t = 1 \, , \\ - 15 \text{ bei } t = 4 \, , \\ -48 \text{ bei } t = 7 \end{cases} \mod 9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also stets ein Vielfaches von $3$. Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1 + a^2b^2 ( a^2 + b^2-3 ) }
{ =} { 1 + { \left( 81mn +9(m+n)r +r^2 \right) } { \left( 9(m+n) + 2r -3 \right) } }
{ =} { 1 + 81 A + 18 (m+n) r^2 - 27 (m+n) r +9(m+n) r^2 + 2r^3-3r^2 }
{ =} { 81 A +1 + 27 (m+n) r^2 - 27 (m+n) r + 2r^3-3r^2 }
{ =} { 81 A +1 + 27 (m+n) (r^2 -r) + 2r^3-3r^2 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 81 A' +1 + 2r^3-3r^2 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ = }{1,4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dies sogar ein Vielfaches von $81$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind die hinteren Summanden zusammen gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+2 \cdot 7^3-3 \cdot 7^2 }
{ =} { 540 }
{ =} { 27 \cdot 20 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ein Vielfaches von $27$ und daher ist $z$ ganz.

Wir zeigen nun, dass die von $x,y,z$ erzeugte Algebra normal ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w }
{ =} { k + mx+ nx^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k,m,n }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das über eine Ganzheitsgleichung erfüllt, und wir müssen zeigen, dass es zu
\mathl{\Z [x,y,z]}{} gehört. Aufgrund der Spurbedingung ist $3k$ ganzzahlig. Wir ziehen $z$ \zusatzklammer {oder $3z$} {} {} von $w$ ab und können dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} annehmen. Die weiteren Koeffizientenbedingungen an das charakteristische Polynom besagen, dass \mathkor {} {3mn q} {und} {m^3 q +n^3q^2} {} ganzzahlig sind. Da $q$ kein Vielfaches von $3$ ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ (3) } \, (mn) }
{ \geq} {-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ (3) } \, (m) }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ (3) } \, (n) }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ (3) } \, (m^3 +n^3q) }
{ \geq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im ersten Fall folgt wegen der letzten Bedingung auch die Bedingung im zweiten Fall und umgekehrt, d.h. die Ordnung von \mathkor {} {m} {und} {n} {} an der Stelle $(3)$ ist $\neq 0$. Wegen der Normalität an den anderen Primzahlen folgt überhaupt, dass \mathkor {} {m} {und} {n} {} ganzzahlig sind. }

}





\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $q$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \neq }{ \pm 1 \mod 9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {was bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{2 \mod 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets der Fall ist} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{} zur \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} { \Q[X]/(X^3-q) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gleich
\mathl{\Z[X]/(X^3-q)}{.}

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{1,-1 \mod 9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { { \frac{ 1 +qx+x^2 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ganz über
\mathl{\Z[X]/(X^3-q)}{} mit dem Minimalpolynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T^3 -T^2 + { \frac{ 1-q^2 }{ 3 } } T - { \frac{ (q^2-1)^2 }{ 27 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} In diesem Fall besitzt der Ganzheitsring die \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1,x, z}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies ist der Spezialfall von Satz 16.1 mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} In diesem Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y }
{ =} { \sqrt[3]{q^2} }
{ =} { \sqrt[3]{q}^2 }
{ =} { x^2 }
{ } {}
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { \Z[x] }
{ =} { \Z[X]/(X^3-q) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[3]{2}] }
{ =} {K }
{ \subset} {\R }
{ } { }
} {}{}{.} Der Ganzheitsring ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[ \sqrt[3]{2}] }
{ \cong} { \Z[X]/(X^3-2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Korollar 16.2. Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom
\mathl{X^3-2}{} über $K$ \zusatzklammer {und reell} {} {} nicht zerfällt. Oberhalb von $(2)$ liegt das einzige Primideal
\mathl{(X)}{.} Für eine ungerade Primzahl $p$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{ 2 \mod 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind \mathkor {} {p-1} {und} {3} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} und daher ist die dritte Potenz \maabbeledisp {} { \Z/(p) } { \Z/(p) } {z} {z^3 } {,} eine Bijektion. Insbesondere besitzt die $2$ eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel $a$ und es gibt eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3-2 }
{ =} { (X-a) (X^2+bX+c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Z/(p) [X]$, wobei der hintere Faktor \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist. Deshalb liegen über $(p)$ in der Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z }
{ \subseteq }{ \Z[ \sqrt[3]{2}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits
\mathl{\Z/(p)}{} und andererseits
\mathl{{\mathbb F}_{ p^2 }}{} ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^3 }
{ =} {2 \mod 5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3-2 }
{ =} {X^3+3 }
{ =} { (X+2)(X^2 + 3X + 4 ) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Z[ \sqrt[3]{2}] \otimes_{ \Z } \Z/(5) }
{ =} { \Z[X]/(X^3-2) \otimes_{ \Z } \Z/(5) }
{ =} { \Z/(5) [X]/(X^3-2) }
{ =} { \Z/(5) [X] /(X+2) \times \Z/(5) [X]/(X^2 + 3X + 4 ) }
{ \cong} {\Z/(5) \times {\mathbb F}_{ 25 } }
} {} {}{.}

Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p }
{ =} {1 \mod 3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist $3$ ein Teiler von $p-1$ und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in $\Z/(p)$. Wenn die $2$ in $\Z/(p)$ eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper $\Z/(7)$ sind. Wenn die $2$ in $\Z/(p)$ keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit $p^3$ Elementen ist.

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dritte Einheitswurzeln sind $1,2,4$. Die andere dritte Potenz ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6 }
{ =} {3^3 }
{ =} {5^3 }
{ =} {6^3 }
{ } { }
} {}{}{.} D.h. $2$ ist keine dritte Potenz und
\mathl{\Z/(7)[X]/(X^3-2)}{} ist ein Körper mit $243$ Elementen.

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{13 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die dritten Einheitswurzeln sind $1, 3, 9$. Die weiteren dritten Potenzen sind
\mathl{-1=12, 8=2^3, 5=11^3}{,} die $2$ ist also wieder keine dritte Potenz.

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{19 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die dritten Einheitswurzeln sind $1, 7, 11$. Die weiteren dritten Potenzen sind
\mathl{-1=18, 8=2^3, 7=4^3, 11= 5^3, 12= 10^3}{,} die $2$ ist also wieder keine dritte Potenz.

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{31 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die dritten Einheitswurzeln sind $1, 5, 25$.

Hier ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 }
{ =} { 4^3 }
{ =} { 20^3 }
{ =} { 7^3 }
{ } { }
} {}{}{.} D.h. es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Z[ \sqrt[3]{2}] \otimes_{ \Z } \Z/(31) }
{ =} { \Z[ X]/(X^3-2) \otimes_{ \Z } \Z/(31) }
{ =} { \Z/(31) [ X]/(X^3-2) }
{ =} { \Z/(31) [ X]/(X-4)(X-7)(X-20) }
{ \cong} {\Z/(31) \times \Z/(31) \times \Z/(31) }
} {} {}{,} die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper $\Z/(31)$ besitzen.


}

Die zusätzliche Ganzheitsgleichung ist bei einer Primzahl $q$ erstmals bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{17 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu berücksichtigen.




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} zur \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} { \Q[X]/(X^3-17) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dieser besitzt nach Korollar 16.2 die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { \Z[x,z] }
{ \subseteq} { \Q[X](X^3-17) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { { \frac{ 1 +17 x+x^2 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und wobei $z$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T^3-T^2 -96T -3072 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.


}





\inputfaktbeweis
{Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} \definitionsverweis {quadratfreie}{}{} natürliche Zahlen, nicht beide $1$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ \Q[X]/(X^3-ab^2) }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige kubische \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} mit dem \definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{} $R$.}
\faktuebergang {Dann gilt für die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} von $R$ folgende Beschreibung.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{ \pm b \mod 9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Diskriminante von $R$ gleich
\mathl{-27a^2b^2}{.} } {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ \pm b \mod 9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Diskriminante von $R$ gleich
\mathl{-3a^2b^2}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ \sqrt[3]{ab^2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{ \sqrt[3]{a^2b} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Satz 16.1 ist der Ganzheitsring gleich $\Z[x,y]$ und
\mathl{1,x,y}{} ist eine \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{,} ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{ x^2/b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir berechnen zuerst die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} zu
\mathl{1,x,x^2}{.} Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^3 }
{ = }{ab^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^4 }
{ = }{ ab^2x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Spur von $x$ und von $x^2$ ist gleich $0$, daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle(1 ,x, x^2 ) }
{ =} { \det \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3ab^2 \\0 & 3ab^2 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { -27 a^2b^4 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Übergangsmatrix zwischen $1,x,x^2$ und
\mathl{1,x,y}{} hat die Determinante
\mathl{1/b}{,} daher ist die Diskriminante des Zahlbereiches nach Lemma 8.2 gleich
\mathl{-27 a^2b^2}{.}

Im zweiten Fall bleibt die bisherige Rechnung gültig, doch ist jetzt
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } } (1+ax+by) , x,y}{} eine Ganzheitsbasis. Die Übergangsmatrix zwischen den Basen \mathkor {} {1,x,y} {und} {z,x,y} {} ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ a }{ 3 } } & { \frac{ b }{ 3 } } \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
mit der Determinante ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. Dies ergibt den Faktor
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 9 } }}{.}

}