Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Kreisteilungskörper}
Wir rekapitulieren ohne Beweis die wichtigsten Ergebnisse über Kreisteilungskörper, wie sie in der Galoistheorie bewiesen werden.
\inputdefinition
{}
{
Der $n$-te \definitionswort {Kreisteilungskörper}{} ist der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
des Polynoms
\mathdisp {X^n-1} { }
über $\Q$.
}
Die Kreisteilungskörper über $\Q$ bezeichnen wir mit
\mathl{K_n}{.} Offenbar ist $1$ eine Nullstelle von
\mathl{X^n-1}{,} daher kann man
\mathl{X^n-1}{} durch
\mathl{X-1}{} teilen und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} { (X-1) { \left( X^{n-1} +X^{n-2} + \cdots + X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist daher der $n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von
\mathdisp {X^{n-1} +X^{n-2} + \cdots + X+1} { . }
Da
\mathl{X^n-1}{} auf die in
Lemma 2.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
beschriebene Art über ${\mathbb C}$ in Linearfaktoren zerfällt, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} { \prod_{ k = 0}^{n-1} (X- e^{k 2 \pi { \mathrm i} / n})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
kann man $K_n$ als Unterkörper von ${\mathbb C}$ realisieren, und zwar ist $K_n$ der von allen $n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${\mathbb C}$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.
\inputfakt{Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann wird der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$}
\faktfolgerung {von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /n}}{} erzeugt.}
\faktzusatz {Der $n$-te Kreisteilungskörper ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K_n
}
{ =} {\Q { \left( e^{2 \pi { \mathrm i} /n} \right) }
}
{ =} { \Q[e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
von $\Q$\zusatzfussnote {Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element} {.} {.}}
\faktzusatz {}
}
Statt
\mathl{e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} } { n } }}{} kann man auch jede andere $n$-te primitive Einheitswurzel aus ${\mathbb C}$ als Erzeuger nehmen.
\inputbeispiel{}
{
Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\Q$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-1
}
{ =} { (X-1) { \left( X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der zweite Faktor zerfällt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X + { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \right) } { \left( X + { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{-3}
}
{ = }{ \sqrt{3} { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
erzeugte Körper, es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_3
}
{ = }{ \Q[ \sqrt{-3}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
der rationalen Zahlen.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist natürlich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^4-1
}
{ =} { { \left( X^2-1 \right) } { \left( X^2+1 \right) }
}
{ =} { (X-1)(X+1) { \left( X^2+1 \right) }
}
{ =} { (X-1)(X+1) (X- { \mathrm i} )(X+ { \mathrm i} )
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q[ { \mathrm i} ]
}
{ \cong }{ \Q[X]/(X^2+1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\Q$.
}
\inputfakt{Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
gleich
\mathdisp {\Q[X]/ { \left( X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \cdots + X^1 + 1 \right) }} { . }
}
\faktzusatz {Insbesondere besitzt der $p$-te Kreisteilungskörper den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{p-1}{} über $\Q$.}
\faktzusatz {}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Kreis5Teilung.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Kreis5Teilung.svg } {} {Exxu} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /5}}{} erzeugt. Er hat aufgrund von
Lemma 17.4
die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_5
}
{ \cong} { \Q[X]/{ \left( X^4+X^3+X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Variable $X$ als
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /5}}{}
\zusatzklammer {oder eine andere
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}} {} {}
zu interpretieren ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ e^{2 \pi { \mathrm i} /5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ x-x^2-x^3+x^4
}
{ = }{ - { \left( 2x^3+2x^2+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{v^2
}
{ =} { 4x^6+4x^4+1+8x^5+4x^3+4x^2
}
{ =} { 4x+4x^4+1+8+4x^3+4x^2
}
{ =} { 5+4 { \left( x^4+x^3+x^2+x+1 \right) }
}
{ =} {5
}
}
{}
{}{.}
Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{\sqrt{5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die positive Wurzel} {} {}
und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subset} {\Q[\sqrt{5}]
}
{ \subset} {K_5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$ bilden eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$n$ und die primitiven Einheitswurzeln sind die Erzeuger davon. Ihre Anzahl stimmt damit generell mit der Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe
\mathl{( \Z/(n), \cdot, 0 )}{} überein. Diese Anzahl bekommt einen eigenen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet
\mathl{{\varphi (n)}}{} die Anzahl der Elemente von
\mathl{(\Z/(n))^{\times}}{.} Man nennt
\mathl{{\varphi (n)}}{} die \definitionswort {Eulersche Funktion}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mathl{z_1 , \ldots , z_{\varphi (n)}}{} die
\definitionsverweis {primitiven}{}{}
komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{n}
}
{ =} { \prod_{i = 1}^{\varphi (n)} (X- z_i)
}
{ \in} { {\mathbb C}[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das $n$-te \definitionswort {Kreisteilungspolynom}{.}
}
\inputfakt{Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die Koeffizienten der
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}}
\faktfolgerung {liegen in $\Z$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfakt{Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
$\Phi_{n}$ sind
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
über $\Q$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfakt{Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
$K_n$ über $\Q$ hat die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_n
}
{ =} { \Q[X]/( \Phi_{n})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\Phi_{n}$ das $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{}
bezeichnet.}
\faktzusatz {Der Grad des $n$-ten Kreisteilungskörpers ist
\mathl{{\varphi (n)}}{.}}
\faktzusatz {}
}
\inputfakt{Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $K_n$ der
$n$-\definitionsverweis {te Kreisteilungskörper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )
}
{ \cong} { { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei entspricht der Einheit
\mathl{a \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} derjenige Automorphismus
\mathl{\varphi_a \in \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )}{,} der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf $\zeta^a$ abbildet.}
\faktzusatz {}
}
\zwischenueberschrift{Kreisteilungsringe}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{}
im $n$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
heißt $n$-ter
\definitionswort {Kreisteilungsring}{.}
}
Wir bezeichnen diesen Kreisteilungsring mit $R_n$ und möchten die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_n
}
{ = }{ \Z[X]/ (\Phi_{n} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nachweisen, was bedeutet, dass der Kreisteilungsring durch die selbe Gleichung beschrieben wird wie der Kreisteilungskörper. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Kreisteilungsring der Ring der Eisensteinzahlen, und für diesen gilt in der Tat die Beschreibung
\mathl{\Z[ u]/(u^2+u+1)}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der vierte Kreisteilungsring der Ring der Gaußschen Zahlen
\mathl{\Z[u]/(u^2+1)}{,} und
\mathl{u^2+1}{} ist das vierte Kreisteilungspolynom. Aber schon für diese niedrigen Zahlen ist das Resultat nicht selbstverständlich, sondern beruht auf der expliziten Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche im Sinne von
Satz 9.8.
Wir werden die Behauptung zuerst für eine Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Wenn $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel ist, so spielt das Element $1- \zeta$ eine besondere Rolle.
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$p$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das einzige
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
im $p$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
oberhalb von $(p)$ das Primhauptideal
\mathl{(1- \zeta)}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \defeq} { \Z[\zeta]
}
{ \cong} {\Z[Y]/(Y^{p-1}+ Y^{p-2} + \cdots + Y^2+Y+1 )
}
{ \subseteq} { R_p
}
{ \subseteq} { {\mathbb C}
}
}
{}{}{.}
Das $p$-te Kreisteilungspolynom zerfällt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{p-1} +X^{p-2} + \cdots + X^2 +X+1
}
{ =} { \prod_{k = 1}^{p-1} (X- \zeta^k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
über ${\mathbb C}$ und auch über $S$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich speziell die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ =} { \prod_{k = 1}^{p-1} (1- \zeta^k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1-\zeta^k }{ 1- \zeta } }
}
{ =} { 1+ \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{k-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dieses Element gehört zu $S$. Da $k$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {p-1} {}
ist, gibt es jeweils ein $\ell$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k \cdot \ell
}
{ = }{1 \mod p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta^p
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1-\zeta }{ 1- \zeta^k } }
}
{ =} { { \frac{ 1-\zeta^{k \ell} }{ 1- \zeta^k } }
}
{ =} { { \frac{ 1-(\zeta^{k})^\ell }{ 1- \zeta^k } }
}
{ =} { 1+ \zeta^k + (\zeta^{k})^2 + \cdots + (\zeta^k)^{\ell -1}
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
gehört dieses Element ebenfalls zu $S$, d.h. die Elemente
\mathl{{ \frac{ 1-\zeta^k }{ 1- \zeta } }}{} sind Einheiten in $S$. Deshalb ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ =} { \prod_{k = 1}^{p-1} (1- \zeta^k)
}
{ =} { \prod_{k = 1}^{p-1} { \frac{ 1- \zeta^k }{ 1-\zeta } } ( 1-\zeta)
}
{ =} { u \cdot ( 1-\zeta)^{p-1}
}
{ } {}
}
{}{}{}
mit einer Einheit $u$ aus $S$. Deshalb gilt in $S$ und damit auch im ganzen Abschluss $R_p$ die Idealgleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ = }{ ((1- \zeta)^{p-1})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im ganzen Abschluss liegt nach
Satz 12.2
eine Idealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1- \zeta)
}
{ =} { {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor und daher gilt dort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ =} { ((1- \zeta)^{p-1})
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{p-1} \cdots {\mathfrak p}_r^{p-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da der Grad der Erweiterung gleich $p-1$ ist, folgt direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit, dass
\mathl{(1- \zeta)}{} ein Primideal ist, und zwar das einzige über $(p)$.
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$p$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
gleich
\mathl{\Z[\zeta]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[\zeta]
}
{ \cong} { \Z[Y]/(Y^{p-1} +Y^{p-2} + \cdots + Y^2+Y+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bereits
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
von $\Z[\zeta]$ an jedem Primideal ${\mathfrak q}$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q} \cap \Z
}
{ =} { (q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer Primzahl $q$ und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist oder nicht. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigt
Lemma 17.13,
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ = }{ ( \zeta-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \neq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lokalisieren wir die Situation an $(q)$. Da
\mathl{X^p-1}{} und seine Ableitung
\mathl{pX^{p-1}}{} teilerfremd in
\mathl{\Z_{(q)}[X]}{} sind, gilt dies auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in
\mathl{\Z/(q)[X]}{} einfach. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von $(q)$ nach
Lemma 15.1
diskrete Bewertungsringe.
Insbesondere ist $1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{p-2}$ eine \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{} des Kreisteilungsringes.
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Kreisteilungskoerper5zerlegung.png} }
\end{center}
\bildtext {Das exemplarische Zerlegungsverhalten im fünften Kreisteilungsring umd im quadratischen Zahlbereich zu $\sqrt{5}$.} }
\bildlizenz { Kreisteilungskoerper5zerlegung.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1)
}
{ = }{ \Z[x]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der fünfte
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.}
Wir verwenden den Zwischenring
\zusatzklammer {vergleiche
Beispiel 17.5} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\Z
}
{ \subseteq} {\Z[ \sqrt{5} ]
}
{ \subseteq} { \Z[W]/(W^2-W-1)
}
{ =} {S
}
{ \subseteq} { \Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { S [X]/(X^2+XW+1)
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ v+1 }{ 2 } }
}
{ =} { x^3+x^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v^2
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Zu einer Primzahl $p$ kommen als Restekörper der Primideale in $R$ oberhalb von $(p)$ nach
Korollar 8.8
nur die Körper $\Z/(p), {\mathbb F}_{ p^2 }, {\mathbb F}_{ p^3 } , {\mathbb F}_{ p^4 }$ in Frage
\zusatzklammer {die Möglichkeit
\mathl{{\mathbb F}_{ p^3 }}{} werden wir gleich ausschließen} {} {,}
und zwar muss es in den Restekörpern fünf Einheitswurzeln
\zusatzklammer {über $(5)$ fallen die zusammen} {} {}
geben. Wegen
Satz 9.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
ist dies genau dann der Fall, wenn $p^e-1$ ein Vielfaches von $5$ ist. Daraus ergeben sich die Möglichkeiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{1,2,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir geben Beispiele für typisches Zerlegungsverhalten.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mathl{S/2S}{} ein Körper mit vier Elementen und es ist $R/2R$ ein Körper mit $16$ Elementen.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Hier ist über
\mathl{\Z/(5)}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-1) (X^4+X^3+X^2+X+1)
}
{ =} { X^5-1
}
{ =} { (X-1)^5
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^4+X^3+X^2+X+1
}
{ = }{ (X-1)^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von $(5)$ und dessen Restklassenkörper ist $\Z/(5)$, was auch von
Lemma 17.13
her klar ist.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind $1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^4+X^3+X^2+X+1
}
{ =} {(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Oberhalb von $(11)$ liegen in $\operatorname{Spek} { \left( R \right) }$ vier Primideale, alle mit dem Restekörper $\Z/(11)$. Dabei liegen
\mathkor {} {(X-3)} {und} {(X-4)} {}
über $(W-4)$ und
\mathkor {} {(X+2)} {und} {(X-5)} {}
über $(W-8)$ in $S$.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{19
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{9^2
}
{ = }{5
}
{ = }{10^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in $S$ gibt es somit zwei Primideale oberhalb von $(19)$, beide mit dem Restekörper $\Z/(19)$. In $\Z/(19)$ gibt es aber keine fünfte Einheitswurzeln, deshalb liegen oberhalb
von $(19)$ in $R$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper ${\mathbb F}_{ 361 }$. Über $(19)$ liegt die Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^4+X^3+X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X^2 +5 X+1 \right) } { \left( X^2 +15 X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor.
}
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und $\zeta$ eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$p$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
der
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{p-2}}{} des $p$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{p-2} )
}
{ =} { \pm p^{p-2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{p}
}
{ =} { X^{p-1} +X^{p-2} + \cdots + X^2+X+1
}
{ =} { (X- \zeta) (X- \zeta^2) \cdots (X-\zeta^{p-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist nach
Lemma 8.11
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \triangle (1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{p-2} )
}
{ =} { \prod_{0 \leq i < j \leq p-2 } (\zeta^i - \zeta^j )^2
}
{ =} { \pm \prod_{0 \leq i , j \leq p-2, \, i \neq j } (\zeta^i - \zeta^j )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen
\mathkor {} {1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{p-2}} {und} {\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{p-2}, \zeta^{p-1}} {}
betrachtet, so ist deren Determinante gleich $\pm 1$ und deshalb kann man
wegen Lemma 8.2
genauso gut
\mathl{\pm \prod_{1 \leq i , j \leq p-1, \, i \neq j } (\zeta^i - \zeta^j )}{} berechnen.
Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von
\mathl{\Phi_{p}}{} ist nach der Produktregel gleich
\mathdisp {\sum_{k = 1}^{p-1} (X- \zeta) (X- \zeta^2) \cdots (X-\zeta^{p-1})/(X- \zeta^k)} { . }
Wenn man darin
\mathbed {\zeta^i} {}
{i =1 , \ldots , p-1} {}
{} {} {} {,}
einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu $0$, und der verbleibende Summand ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{p}' (\zeta^i)
}
{ =} { \prod_{1 \leq j \leq p-1, \, j \neq i } (\zeta^i- \zeta^j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die Diskriminante gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pm \prod_{ i = 1}^{p-1} \Phi_{p}' (\zeta^i)
}
{ =} { \pm \prod_{ \varphi } \Phi_{p}' ( \varphi( \zeta) )
}
{ =} { \pm \prod_{ \varphi } \varphi ( \Phi_{p}' (\zeta) )
}
{ =} { \pm N( \Phi_{p}' (\zeta) )
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\varphi$ die Galoisgruppe durchläuft und
Lemma 7.14
verwendet wurde. Aufgrund von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^p-1
}
{ =} { (X-1) \Phi_{p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt für die Ableitung auch die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ pX^{p-1}
}
{ =} { (X-1) \Phi_{p}' - \Phi_{p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man darin $\zeta$ einsetzt, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p \zeta^{p-1}
}
{ =} { p \zeta^{-1}
}
{ =} { (\zeta-1) \Phi_{p}' (\zeta)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{p}' (\zeta)
}
{ =} { p \zeta^{-1} (\zeta-1)^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Norm von $\zeta -1$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N( \zeta -1)
}
{ =} { \prod_{ k = 1}^{p-1} (\zeta^k -1)
}
{ =} { \pm \Phi_{p} (1)
}
{ =} { \pm p
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb ist die Diskriminante nach
Lemma 8.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
und
Lemma 10.2
gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \pm N( \Phi_{p}' (\zeta) )
}
{ =} { \pm N( p \zeta^{-1} (\zeta-1)^{-1})
}
{ =} { \pm N( p ) N( \zeta^{-1})N( (\zeta-1)^{-1})
}
{ =} { \pm p^{p-1} \cdot { \frac{ 1 }{ p } }
}
{ =} { \pm p^{p-2}
}
}
{}
{}{}
{Kreisteilungskörper/Primzahlpotenz/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\zeta$ eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$p^r$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
und}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
der
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{ {\varphi (p^r)} -1 }}{} des $p^r$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{ {\varphi (p^r)} -1} )
}
{ =} { \pm p^{p^{r-1}(rp-r-1)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies wird ähnlich wie Lemma 17.16 bewiesen.
{Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
gleich
\mathl{\Z[\zeta]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies wird zuerst ausgehend von
Lemma 17.14
für Primzahlpotenzen bewiesen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p_1^{r_1} \cdot p_k^{r_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich eine Ganzheitsbasis des Ganzheitsringes wegen der nach
Lemma 17.17
teilerfremden Diskiminanten aus den Produkten der Ganzheitsbasen der einzelnen Kreisteilungsringen zu den Primzahlpotenzen.
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_n
}
{ =} { \Z[X]/ (\Phi_{n} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\Phi_{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.