Kurs:Analysis/Teil I/14/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} in $\R$.
}{Der \stichwort {natürliche Logarithmus} {} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}
}{Die \stichwort {Ableitungsfunktion} {} zu einer differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.}
}{Das \stichwort {bestimmte Integral} {} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit \stichwort {getrennten Variablen} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
\mathl{x,y \in L}{} auch
\mathl{f(x)}{} und
\mathl{f(y)}{} verschieden sind.
}{Eine reelle Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in \R} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n,m \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Der natürliche Logarithmus
\maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R
} {x} { \ln x
} {,}
ist als die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der
\definitionsverweis {reellen Exponentialfunktion}{}{}
definiert.
}{Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung
\maabbeledisp {f'} {\R} {\R
} {x} {f'(x)
} {,}
die jedem Punkt
\mathl{x \in \R}{} die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
}{Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über
\mathl{[a,b]}{} heißt bestimmtes Integral.
}{Eine Differentialgleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t) \cdot h(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Funktionen
\zusatzklammer {dabei sind
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
reelle Intervalle} {} {}
\maabbeledisp {g} {I} {\R
} {t} {g(t)
} {,}
und
\maabbeledisp {h} {J} {\R
} {y} {h(y)
} {,}
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\R$.}{Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.}{Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in $\R$ konvergiert.}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}} { }
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{.}}{Sei $I$ ein reelles Intervall und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Dann ist $f$ Riemann-integrierbar.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas \zusatzklammer {ein Fingerhut oder ein Schnapsglas} {} {} in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt \zusatzklammer {insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe} {} {.} Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
}
{
Die Anteile stimmen überein. Die Weinmenge sei jeweils zu $1$ normiert und die Größe des kleineren Glases sei $x$. Nach dem ersten Umfüllen befindet sich im Rotweinglas
\mathl{1-x}{} Rotwein
\zusatzklammer {und kein Weißwein} {} {}
und im Weißweinglas $1$ Weißwein und $x$ Rotwein. Im Weißweinglas beträgt der Weißweinanteil
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1+x } }}{} und der Rotweinanteil
\mathl{{ \frac{ x }{ 1+x } }}{.} Daher wird beim zweiten Umfüllen
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1+x } } x}{} Weißwein und
\mathl{{ \frac{ x }{ 1+x } }x}{} Rotwein transportiert. Der Weißweinanteil im Weißweinglas ist somit zum Schluss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 - { \frac{ 1 }{ 1+x } } x
}
{ =} {{ \frac{ 1+x-x }{ 1+x } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 1+x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Rotweinanteil im Rotweinglas ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 - x +{ \frac{ x }{ 1+x } }x
}
{ =} { { \frac{ { \left( 1-x \right) } { \left( 1+x \right) } +x^2 }{ 1+x } }
}
{ =} { { \frac{ 1-x^2 +x^2 }{ 1+x } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {} für eine Aussage der Form \anfuehrung{Aus $A$ folgt $B$}{.}
}
{
Man möchte zeigen, dass aus einer Aussage $A$ eine weitere Aussage $B$ folgt. Beim Beweis durch Widerspruch nimmt man an, dass gleichzeitig $A$ und nicht $B$ gelten. Unter diesen Voraussetzungen zeigt man, dass sich ein Widerspruch ergibt. Dies bedeutet, dass $A$ und nicht $B$ nicht gleichzeitig gelten können, was eben die Implikation
\mathl{A \implies B}{} bedeutet.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel.
}
{
Wir führen Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^0b^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (a+b)^{n+1}
}
{ =} { (a+b) (a+b)^n
}
{ =} { (a+b) { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { a { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } + b { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k+1} b^{n - k} + \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } a^{k} b^{n - k+1} + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } { \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k}
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Was fällt an dem folgenden Satz auf \zusatzklammer {aus der Sendung Börse vor acht, 2020} {} {:} \anfuehrung{Die deutsche Bahn will bis 2030 ihren Personenverkehr verdoppeln. Ihren Güterverkehr will sie im gleichen Zeitraum sogar um $70 \%$ steigern}{.}
}
{Bahn/Güterverkehr/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x,y>0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x/y
}
{ \geq 1} {
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Wegen
\mathl{y>0}{} ist nach
Aufgabe 4.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
auch
\mathl{y^{-1} >0}{.} Aus
\mathl{x \geq y}{} folgt daher durch Multiplikation mit
\mathl{y^{-1}}{} die Beziehung
\mathl{x y^{-1} \geq y y^{-1} =1}{.} Wenn umgekehrt
\mathl{x/y \geq 1}{} gilt, so folgt durch Multiplikation mit
\mathl{y>0}{} die Beziehung
\mathl{x= y \cdot x/y \geq y \cdot 1 = y}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \max_{n <n_0}\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{x_n}{} eine gegen $x$
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\N} {\N
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{.}
Zeige, dass auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \defeq} { x_{\varphi( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Folge gegen $x$ konvergiert.
}
{
Es sei
\mathl{\epsilon >0}{} vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Ausgangsfolge gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { x_n -x }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Das Urbild von
\mathl{\{0,1 , \ldots , n_0-1\}}{} unter der bijektiven Abbildung $\varphi$ ist endlich. Es sei
\mathl{m \in \N}{} eine Zahl, die größer als all diese Zahlen ist. Dann gilt für
\mathl{n \geq m}{} die Beziehung
\mathl{\varphi(n) \geq n_0}{,} und somit ist für diese $n$ auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { y_n -x }
}
{ =} {\betrag { x_{\varphi(n)} -x }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (\N )}{} und die Menge der Abbildungen
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( \N , \mathfrak {P} \, (\N ) \right) }}{}
\definitionsverweis {gleichmächtig}{}{}
sind.
}
{
Die Potenzmenge $\mathfrak {P} \, (\N )$ steht in Bijektion zur Abbildungsmenge $\operatorname{Abb} \, { \left( \N , \{0,1\} \right) }$ durch die Zuordnung
\mathl{A \mapsto e_{ A }}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( \N , \mathfrak {P} \, (\N ) \right) }
}
{ \cong} { \operatorname{Abb} \, { \left( \N , \operatorname{Abb} \, { \left( \N , \{0,1\} \right) } \right) }
}
{ \cong} { \operatorname{Abb} \, { \left( \N \times \N , \{0,1\} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Gleichmächtigkeit von $\N$ zu
\mathl{\N \times \N}{} folgt die Gleichmächtigkeit der Mengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( \N \times \N , \{0,1\} \right) }
}
{ \cong} { \operatorname{Abb} \, { \left( \N , \{0,1\} \right) }
}
{ \cong} {\mathfrak {P} \, (\N )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
$\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y)
}
{ =} { f(x) \cdot f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Es sei
\mathl{f(u) \neq 0}{.} Dann ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(u)
}
{ =} {f(u+0)
}
{ =} {f(u) f(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} {f(0)
}
{ =} {f(1-1)
}
{ =} {f(1) \cdot f(-1)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \defeq} { f(1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(1)
}
{ =} { f { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } +{ \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { f { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) } f { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { { \left( f{ \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) } \right) }^2
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $b$ positiv. Wir vergleichen $f(x)$ mit
\mathl{b^x}{.} Für
\mathl{x=0,1}{} stimmen die beiden Funktionen überein. Für
\mathl{x =n \in \N}{} ist aufgrund der Funktionalgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(n)
}
{ =} { f(1)^n
}
{ =} {b^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{n \in \Z_-}{} ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{f(0)
}
{ = }{f(n-n)
}
{ = }{f(n) f(-n)
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(n)
}
{ =} { f(-n)^{-1}
}
{ =} { { \left( b^{-1} \right) }^{-n}
}
{ =} {b^n
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also gilt die Gleichheit für
\mathl{n \in \Z}{.} Für
\mathl{n=p/q \in \Q_+}{} mit
\mathl{p,q \in \N_+}{} gilt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f( p)
}
{ =} { f { \left( q \cdot { \frac{ p }{ q } } \right) }
}
{ =} { { \left( f { \left( { \frac{ p }{ q } } \right) } \right) }^q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der eindeutigen Existenz von $q$-ten Wurzeln
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( { \frac{ p }{ q } } \right) }
}
{ =} { \sqrt[q]{ f(p) }
}
{ =} { \sqrt[q]{ b^p }
}
{ =} { b^{ { \frac{ p }{ q } } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt über die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1
}
{ =} {f( r-r)
}
{ =} { f(r) \cdot f(-r)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da $f$ nach Voraussetzung stetig ist und da $b^x$ stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl $x$ eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen $x$ konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge und es sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Folge von
\definitionsverweis {gleichmäßig stetigen Funktionen}{}{,}
die
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.
}
{
Es sei
\mathl{\epsilon >0}{} vorgegeben. Aufgrund der
\definitionsverweis {gleichmäßigen Konvergenz}{}{}
gibt es ein $n_0$ mit
\mathl{d { \left( f_n(y), f(y) \right) } \leq \epsilon/3}{} für alle
\mathl{n \geq n_0}{} und alle
\mathl{y \in T}{.} Wegen der
\definitionsverweis {gleichmäßigen Stetigkeit}{}{}
von
\mathl{f_{n_0}}{} gibt es ein
\mathl{\delta > 0}{} mit
\mathl{d { \left( f_{n_0} (x), f_{n_0} (y) \right) } \leq \epsilon/3}{} für alle
\mathl{x,y \in T}{} mit
\mathl{d { \left( x, y \right) } \leq \delta}{.} Für diese $x, y$ gilt somit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d { \left( f(x), f(y) \right) }
}
{ \leq} { d { \left( f(x), f_{n_0}(x) \right) } + d { \left( f_{n_0} (x), f_{n_0} (y) \right) } + d { \left( f_{n_0} (y), f(y) \right) }
}
{ \leq} {\epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{{ \frac{ x^2-1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ = }{{ \frac{ y^2 }{ y-1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von \mathkor {} {f} {und von} {g} {.}
b) Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ = }{g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.
}
{
a) Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 2x x-(x^2-1) }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g'(y)
}
{ =} { { \frac{ 2y (y-1) -y^2 }{ (y-1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ y^2 -2y }{ y^2 -2y +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{g(f(x))
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 }{ { \frac{ x^2-1 }{ x } } -1 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( x^2-1 \right) } ^2 }{ x( x^2-1) -x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2x^2 + 1 }{ x^3-x^2 -x } }
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
c) Die Ableitung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2x^2 + 1 }{ x^3-x^2 -x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{h'(x)
}
{ =} { { \frac{ { \left( 4x^3-4x \right) } { \left( x^3-x^2 -x \right) } - { \left( x^4 -2x^2 + 1 \right) } { \left( 3 x^2-2x -1 \right) } }{ { \left( x^3-x^2 -x \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 4x^6 -4x^5 -4x^4 -4x^4 +4x^3 +4x^2 - { \left( 3x^6-2x^5 -x^4 -6x^4+4x^3 +2x^2 + 3 x^2-2x -1 \right) } }{ x^2 { \left( x^2-x -1 \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 - x^4 - x^2 +2x +1 }{ x^2 { \left( x^4 +x^2 +1 -2 x^3 -2x^2 +2x \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 - x^4 - x^2 +2x +1 }{ x^6 - 2x^5 -x^4 + 2 x^3 +x^2 } }
}
}
{}
{}{.}
d) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ g'(f(x)) f'(x)
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 -2 { \frac{ x^2-1 }{ x } } }{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 -2 { \frac{ x^2-1 }{ x } } +1 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( x^2-1 \right) }^2 -2 { \left( x^2-1 \right) } x }{ { \left( x^2-1 \right) }^2 -2 { \left( x^2-1 \right) } x + x^2 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4-2x^2 +1 -2 x^3 +2 x }{ x^4-2x^2 +1 -2 x^3 +2 x + x^2 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2 x^3 -2x^2 +2 x +1 }{ x^4 -2x^3 - x^2 +2x +1 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 -x^4 -x^2 +2x +1 }{ x^6 - 2x^5 -x^4 + 2 x^3 +x^2 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz von Rolle.
}
{
Wenn $f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also $f$ nicht konstant. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{{]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \neq }{ f(a)
}
{ = }{ f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sagen wir, dass
\mathl{f(x)}{} größer als dieser Wert ist. Aufgrund von
Satz 13.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wo die Funktion ihr
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses $c$ ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz 19.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}
}
{
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir
Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
anwenden und erhalten mit
[[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln' (x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp' ( \ln x) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp ( \ln x) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel
\mathl{\sqrt{x}}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [1,4]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von
\mathkor {} {1} {und} {4} {}
und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von $1$ und der Wurzel von $4$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_1^4 \sqrt{x} dx
}
{ =} { \int_1^4 x^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } dx
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } x^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } | _{ 1 } ^{ 4 }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } { \left( 4^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } }-1^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } { \left( 8-1 \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 14 }{ 3 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Der Durchschnittswert ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 14 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 14 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das arithmetische Mittel von
\mathkor {} {1} {und} {4} {}
ist ${ \frac{ 5 }{ 2 } }$, die Wurzel davon ist
\mathl{\sqrt{ { \frac{ 5 }{ 2 } } }}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 14 }{ 9 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 196 }{ 81 } }
}
{ <} { { \frac{ 200 }{ 80 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 14 }{ 9 } }
}
{ <} { \sqrt{ { \frac{ 5 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Quadratwurzeln von
\mathkor {} {1} {bzw.} {4} {}
sind
\mathkor {} {1} {bzw.} {2} {}
und das arithmetische Mittel davon ist
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 27 }{ 18 } }
}
{ <} {{ \frac{ 28 }{ 18 } }
}
{ =} { { \frac{ 14 }{ 9 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies kleiner als
\mathl{{ \frac{ 14 }{ 9 } }}{.} Insgesamt gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ <} {{ \frac{ 14 }{ 9 } }
}
{ <} { \sqrt{ { \frac{ 5 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=5t \text{ mit } y (2) = 7} { . }
}
{
Die Stammfunktionen zu $5t$ sind
\mathl{{ \frac{ 5 }{ 2 } } t^2 +c}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Anfangsbedingung führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 2 } } 2^2 +c
}
{ =} { 7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ -3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2 } } t^2-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Lösung.
}