Kurs:Analysis/Teil I/32/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 1 | 4 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 6 | 4 | 4 | 5 | 65 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine injektive Abbildung
- Ein angeordneter Körper.
- Der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
- Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
- Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .
- Das
Oberintegral
einer nach oben beschränkten Funktion
auf einem beschränkten Intervall .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die allgemeine binomische Formel für .
- Die Regel von l'Hospital.
- Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
Aufgabe (2 Punkte)
Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.
Aufgabe * (6 (1+1+1+2+1) Punkte)
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung von
in sich selbst.
- Erstelle eine Wertetabelle für .
- Erstelle eine Wertetabelle für .
- Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
- Bestimme für jedes
das minimale
mit der Eigenschaft, dass
ist.
- Bestimme das minimale
mit der Eigenschaft, dass
für alle ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Körper und ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen man (ausgehend von und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.
Aufgabe (1 Punkt)
Skizziere die Funktion
Aufgabe * (1 Punkt)
Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass
eine Nullstelle des Polynoms
ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
Aufgabe (3 Punkte)
Man erläutere den Unterschied zwischen dem Produkt und der Hintereinanderschaltung von zwei Funktionen
anhand typischer Beispiele. Wir ordnet sich die Kettenregel in diesen Fragekomplex ein?
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz von Rolle.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)
- Zeige, dass man mit Hilfe von Beispiel 22.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und drei Summanden (also ) auf dem Intervall eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler enthält.
- Zeige mit der Abschätzung aus (1), dass
gilt.
- Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass
ist?
Aufgabe * (4 Punkte)
Der Graph der Funktion
und die -Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Skizziere die Situation.
Aufgabe * (5 Punkte)
Finde die Lösung des Anfangwertproblems
mit