Kurs:Analysis/Teil I/48/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	2	6	6	4	4	4	4	5	2	4	3	3	5	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Eine Termitenkönigin legt ${}36000$ Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am ${}29$. Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

seien durch

${}f(x)=x^{3}+x\,,$

${}g(y)=y^{2}-1\,$

und

${}h(z)=3z+4\,$

gegeben.

1. Berechne ${}g\circ f$.
2. Berechne ${}h\circ g$.
3. Berechne ${}h\circ g\circ f$ auf zwei unterschiedliche Arten.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) ${}B_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, durch ${}B_{0}=1$ und für ${}n\geq 1$ durch die rekursive Bedingung

${}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n+1}{j}}B_{j}=0\,.$

1. Berechne ${}B_{1}$.
2. Berechne ${}B_{2}$.
3. Berechne ${}B_{3}$.
4. Berechne ${}B_{4}$.
5. Zeige, dass alle ${}B_{n}$ rationale Zahlen sind.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Das Heron-Verfahren berechnet zu jedem ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ mit dem fest gewählten Startwert ${}x_{0}=1$ eine von ${}b$ abhängige Folge ${}x_{n}=x_{n}(b)$. Beschreibe explizit die Funktionen

$x_{n}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,b\longmapsto x_{n}(b),$

für ${}n=1,2,3$.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Karl möchte mit seinem programmierbaren Taschenrechner den Wert der Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ annähernd berechnen. Die Anzeige des Rechners besitzt ${}8$ Nachkommastellen. Der Rechner schafft pro Sekunde eine Addition (also ein Reihenglied wird zur bisherigen Summe draufaddiert) der Reihe und zeigt das neue Ergebnis direkt an. Karl hat richtig programmiert und denkt sich folgende Strategie aus: „Wenn die Anzeige eine ganze Stunde lang immer das gleiche anzeigt, so wird das wohl ziemlich nah am Ergebnis sein, sodass ich das als eine gute Annäherung nehmen kann. Der Rechner soll dann aufhören“.

1. Was ist ungefähr das letzte Reihenglied, das aufaddiert wird?
2. Was ist von der Strategie zu halten?

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(0)=0$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge. Zu ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ bezeichne ${}f^{k}$ die ${}k$-fache Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst.

1. Sei ${}k$ fixiert. Zeige, dass die Folge ${}f^{k}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Nullfolge ist.
2. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge ${}f^{n}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, keine Nullfolge sein muss.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine stetige gerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

${}f(x)={\frac {x^{3}-9x^{2}-x+5}{x^{2}-6x+5}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Graph des Kosinus hyperbolicus nicht überall oberhalb der Standardparabel verläuft.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

surjektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

${}f(x)={\frac {x^{2}-7x}{x-4}}\,$

im Punkt ${}a=-3$ bis zum Grad ${}\leq 2$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann ${}F$ differenzierbar ist und dass ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

${}y'=yt^{3}\,$

mit ${}y(1)=6$.