Kurs:Analysis/Teil I/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	4	3	6	7	5	4	5	3	10	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Die bestimmte Divergenz gegen ${}+\infty$ einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
4. Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

   wobei ${}T$ eine Menge ist.

5. Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ${}t$ zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

   $y'=f(t,y),$

   wobei

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

   eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
3. Die Quotientenregel für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von ${}{\frac {f}{g}}$ (mit den Voraussetzungen an ${}f$ und ${}g$).

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von ${}M$ in die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ geben kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für ${}n\geq 10$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{4}\,$

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (6 Punkte)

Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall ${}[-5,3]$ maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal ${}0,001$ cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?

Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\sqrt[{3}]{x^{2}}}.$

Bestimme die Punkte ${}x\in \mathbb {R}$, in denen ${}f$ differenzierbar ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

1. Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
2. Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
3. Bestimme das Bild von ${}f$.
4. Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
5. Skizziere den Funktionsgraphen von ${}f$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}a\in \mathbb {R}$. Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei

$s_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

diejenige untere Treppenfunktion zu ${}f$ zur äquidistanten Unterteilung in ${}n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

$I_{j}=[a+{\frac {(j-1)(b-a)}{n}},a+{\frac {j(b-a)}{n}}[,\,j=1,\ldots ,n,$

(für ${}j=n$ sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von ${}f(x)$, ${}x\in I_{j}$, annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu ${}s_{n}$ gegen ${}\int _{a}^{b}f(x)dx$ konvergiert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.