Kurs:Analysis/Teil I/Test 2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	4	3	7	3	4	5	4	4	4	4	6	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die absolute Konvergenz einer Reihe.
2. Eine rationale Funktion über einem Körper ${}K$.
3. Ein Berührpunkt einer Menge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.
4. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

5. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

6. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${}F\in K[X]$.
2. Der Zwischenwertsatz.
3. Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{n}}}$

für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ absolut konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

$P=X^{3}-2{\mathrm {i} }X^{2}+4X-1\,\,{\text{ und }}\,\,Q={\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }$

gegeben. Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

Aufgabe * (3 Punkte)

Es ist ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$, die die Gleichung

${}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$

erfüllen?

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine reelle Lösung für die Gleichung

${}3^{x}-{\sqrt {3}}^{x+4}+20=0\,$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

$f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$. Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2xe^{3x}.$

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von ${}f$ gleich

${}f^{(n)}(x)={\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}0<a<1<b$. Bestimme die Extrema von

${}f(x)=a^{x}+b^{x}\,.$

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.$

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$