Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {((4+{ \mathrm i})X^2-3X+9{ \mathrm i}) \cdot ((-3+7{ \mathrm i})X^2+(2+2{ \mathrm i})X-1+6{ \mathrm i})} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2-4X+7} { }
die Variable $X$ durch die
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
$2-5{ \mathrm i}$ ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$.
}{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$.
}{$1(a)=1$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P+Q)
}
{ \leq} { \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P \cdot Q)
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ gilt: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beide ungleich $0$ sind, so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ PQ
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung \zusatzklammer {also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres} {} {} von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3+2X^2-3X+4} { }
in der neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ X+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $S,Q \in K[X]$ zwei Polynome mit $\operatorname{grad} \, (Q) \geq 1$. Zeige, dass es ein
\mathl{n \in \N}{} und eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { R_0 + R_1Q +R_2Q^2 + \cdots + R_n Q^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Polynomen $R_j$ vom Grad $< \operatorname{grad} \, (Q)$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jedes Polynom
\mathl{P \in K[X],\, P \neq 0,}{} eine Produktzerlegung
\mathdisp {P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q} { }
mit
\mathl{\mu_j \geq 1}{} und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^3-1} { }
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen $n,d$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte natürliche Zahlen $q,r$ mit $r<d$ und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {dq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ r
}
{ < }{ d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { dq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem Körper
\mathl{K}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ { \frac{ P }{ Q } } \mid P,Q \in K[X] , \, Q \neq 0 \right\} }} { , }
wobei zwei Brüche
\mathl{{ \frac{ P }{ Q } }}{} und
\mathl{{ \frac{ P' }{ Q' } }}{} genau dann als gleich gelten, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P Q'
}
{ = }{ P' Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} wieder rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {f \circ g} {und} {g \circ f} {}
der beiden
\definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
\mathdisp {f(x)= { \frac{ 2x^2-4x+3 }{ x-2 } } \text{ und } g(x)= { \frac{ x+1 }{ x^2-4 } }} { . }
}
{} {}
In einer der Aufgaben wird folgender Begriff verwendet.
Eine reelle Zahl $z$ heißt \definitionswort {algebraisch}{} oder \definitionswort {algebraische Zahl}{,} wenn es ein Polynom $P \in \Q[X]$, $P \neq 0$, mit $P(z) = 0$ gibt. Andernfalls heißt sie \definitionswort {transzendent}{.}
Beispielsweise sind rationale Zahlen und Wurzeln aus rationalen Zahlen algebraisch, dagegen sind $e$ und $\pi$ transzendent
\zusatzklammer {das sind schwierige Sätze} {} {.}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( (4+{ \mathrm i})X^3- { \mathrm i}X^2+2X+3+2{ \mathrm i} \right) } \cdot { \left( (2-{ \mathrm i})X^3+(3-5 { \mathrm i})X^2+(2+{ \mathrm i})X+1+5{ \mathrm i} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(5+ { \mathrm i} )X^4+ { \mathrm i} X^2+(3-2 { \mathrm i} )X-1} {und} {T=X^2+ { \mathrm i} X+3- { \mathrm i}} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1
}
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $u$ ungerade.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid \text{Der Leitkoeffizient von } F \text{ ist positiv} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt
\aufzaehlungdrei{Entweder ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -F
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F+G
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F \cdot G
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} $K[X]$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
und
\mathdisp {Q=K(X)} { }
der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Zeige unter Verwendung von
Aufgabe 11.23,
dass man $Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der
\betonung{nicht}{}
\definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Polynome}{}{} in einer Variablen mit \definitionsverweis {rationalen Koeffizienten}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Menge der reellen transzendenten Zahlen überabzählbar ist.
}
{} {}
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