- Übungsaufgaben
Zeige, dass eine
lineare Funktion
-
stetig ist.
Zeige, dass die
Funktion
-
stetig
ist.
Zeige, dass die
Funktion
-
stetig
ist.
Die folgende Aufgabe verwendet die reelle Sinusfunktion, die wir später einführen werden. Im Moment muss man nur wissen, dass sie stetig und periodisch ist und dass sich ihre Werte zwischen und bewegen.
Zeige, dass die durch
-
definierte Funktion
-
stetig
ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?
Es seien
reelle Zahlen
und es seien
-
und
-
stetige Funktionen
mit
.
Zeige, dass dann die Funktion
-
mit
-
ebenfalls stetig ist.
Bestimme, für welche Punkte
die durch
-
definierte Funktion
stetig
ist.
Zeige, dass die Funktion
-
mit
-
nur im Nullpunkt stetig ist.
Es sei
eine endliche Teilmenge und
-
eine
Funktion.
Zeige, dass
stetig
ist.
Berechne den
Grenzwert der Folge
-
für .
Die nächsten beiden Aufgaben verwenden folgende Definition.
Die Einschränkung wird mit bezeichnet.
Es seien Teilmengen. Zeige, dass zu einer stetigen Funktion
-
auch die Einschränkung stetig ist.
Man gebe ein Beispiel für eine
streng wachsende
Funktion
-
derart, dass es keine
(endliche)
Zerlegung des Intervalls gibt, so dass die Einschränkungen
stetig
sind.
Bestimme den
Grenzwert
der
rationalen Funktion
-
im Punkt
.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme den
Grenzwert
der durch
-
definierten
Folge,
wobei
-
ist.
Zeige, dass die Funktion
mit
-
in keinem Punkt
stetig
ist.
Entscheide, ob die
Folge
-
konvergiert,
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.
Eine
Funktion
heißt gerade, wenn für alle
die Gleichheit
-
gilt.
Eine Funktion
heißt ungerade, wenn für alle
die Gleichheit
-
gilt.
Zeige, dass die Menge der
stetigen Funktionen
-
mit
überabzählbar
ist.