Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 11
Nachdem wir das Grenzwertverhalten von Folgen und Reihen für die beiden Körper und zur Verfügung haben, wenden wir uns in den nächsten Vorlesungen dem Grenzwertverhalten von Funktionen zu. Die einfachsten Funktionen (abgesehen von den linearen Funktionen, die in der linearen Algebra im Mittelpunkt stehen) sind die Polynomfunktionen.
- Der Polynomring über einem Körper
Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen
mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Ein Polynom
ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel , die die Koeffizienten des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper heißt in diesem Zusammenhang der Grundkörper des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem Nullpolynom (bei dem alle Koeffizienten sind) als neutralem Element. Die Polynome mit
für alle heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als .
Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man die Variable des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, „alles mit allem“ zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:
Die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ, distributiv und besitzt das konstante Polynom als neutrales Element, siehe Aufgabe *****.
In ein Polynom kann man ein Element einsetzen, indem man die Variable an jeder Stelle durch ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung
die die durch das Polynom definierte Polynomfunktion heißt.
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit ist .
Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient , der zum Grad des Polynoms gehört, heißt Leitkoeffizient des Polynoms. Der Ausdruck heißt Leitterm.
- Division mit Rest
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien Polynome mit .
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist und eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ist nach der Vorbemerkung auch , also ist ein konstantes Polynom, und damit ist (da und ein Körper ist) und eine Lösung. Es sei nun und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben und mit . Dann gilt mit die Beziehung
Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt und mit
Daraus ergibt sich insgesamt
sodass also
und
eine Lösung ist.
Zur Eindeutigkeit sei
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
.
Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
und
lösbar.
Der Beweis des Satzes ist konstruktiv, d.h. es wird in ihm ein Verfahren beschrieben, mit der man die Division mit Rest berechnen kann. Dazu muss man die Rechenoperationen des Grundkörpers beherrschen. Wir geben dazu zwei Beispiele, eines über den rationalen Zahlen und eines über den komplexen Zahlen.
Wir führen die Polynomdivision
(über ) durch. Es wird also ein Polynom vom Grad durch ein Polynom vom Grad dividiert, d.h. dass der Quotient und auch der Rest (maximal) vom Grad sind. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man multiplizieren muss, damit das Produkt mit im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar . Das Produkt ist
Die Differenz von zu diesem Produkt ist
Mit diesem Polynom, nennen wir es , setzen wir die Division durch fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man mit multiplizieren. Dies ergibt
Die Differenz zu ist somit
Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt
Wir führen die Polynomdivision
aus. Das Inverse zu ist und daher ist
Daher beginnt mit und es ist
Dies muss man nun von abziehen und erhält
Auf dieses Polynom (nennen wir es ) wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet
Daher ist der konstante Term von gleich und es ergibt sich
Dies ziehen wir von ab und erhalten
Dies ist der Rest , die vollständige Division mit Rest ist also
- Nullstellen
Unter einer Nullstelle eines Polynoms versteht man ein mit . Ein Polynom muss keine Nullstellen besitzen, ferner hängt dies vom Grundkörper ab. Das Polynom hat keine reelle Nullstelle, dagegen gibt es die komplexen Nullstellen und . Als Element in kann man nicht als Produkt von einfacheren Polynomen schreiben, in hingegen hat man die Zerlegung .
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom und .
Dann ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man
mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt
Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
wobei oder aber den Grad besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom () vom Grad .
Dann besitzt maximal Nullstellen.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist nach Lemma 11.6 und hat den Grad , sodass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nach Lemma 3.4 (5) nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, sodass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .
Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
Beweis
- Rationale Funktionen
Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen.
Es sei ein Körper. Zu Polynomen , , heißt die Funktion
wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.
Für uns ist der Fall oder wichtig.
Der Polynomring ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe der rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus die rationalen Zahlen konstruieren kann. Dazu definiert man
wobei man wieder zwei Brüche und miteinander identifiziert, wenn ist. Auf diese Weise entsteht der Körper der rationalen Funktionen (über ).
<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I | >> |
---|