Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \stichwort {Quadrieren} {} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} {x^2 } {,} eine \definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{} ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {u} { \sqrt{u} } {,} eine wachsende Funktion ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für nichtnegative \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} \mathkor {} {s} {und} {t} {} die Beziehung
\mathdisp {\sqrt{st} = \sqrt{s} \sqrt{t}} { }
besteht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln
\mathl{\sqrt{n} }{,}
\mathl{ n \in \N }{,} als Länge von \anfuehrung{natürlichen}{} Strecken vorkommen.

}
{} {Tipp: Satz des Pythagoras.}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Halbkreis.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Halbkreis.jpg } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge $a$ (also jedem
\mathl{a \in \R_{\geq 0}}{}) die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

}
{} {Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Formuliere und beweise die \stichwort {Lösungsformel für eine quadratische Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax^2+bx+c }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathbed {a,b,c \in \R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $x$ eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{,} von welcher der Beginn der \definitionsverweis {kanonischen Dezimalbruchentwicklung}{}{} gleich
\mathdisp {0{,}3333333333\dotso} { }
\zusatzklammer {die weiteren Ziffern sind nicht bekannt} {} {.} Was kann man über die Dezimal\-bruchentwicklung von $3x$ sagen? In welchem \zusatzklammer {möglichst kleinen} {} {} \definitionsverweis {Intervall}{}{} liegt $3x$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} seien durch ihre \definitionsverweis {Dezimalbruchentwicklung}{}{}
\mathdisp {x=0,z_1z_2z_3 \ldots} { }
und
\mathdisp {y=0,u_1u_2u_3 \ldots} { }
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen $xy$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.

Zu zwei \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} \mathkor {} {x} {und} {y} {} heißt
\mathdisp {{ \frac{ x+y }{ 2 } }} { }
das \definitionswort {arithmetische Mittel}{.}

Zu zwei nichtnegativen \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} \mathkor {} {x} {und} {y} {} heißt
\mathdisp {\sqrt{ x \cdot y}} { }
das \definitionswort {geometrische Mittel}{.}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} durch
\mathl{x_0= a}{,}
\mathl{y_0= b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }

\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \in }{ I_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \in }{ \R_{+} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ \defeq} { { \frac{ (k-1)x_n + { \frac{ a }{ x_n^{k-1} } } }{ k } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Folge definiert wird, die gegen $\sqrt[k]{a}$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$, die eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine wachsende Folge in $K$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ${ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }$ ein \definitionsverweis {Supremum}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $A$ und $B$ beschränkte Teilmengen von $\R$. Ferner sei
\mathl{A + B := { \left\{ a + b \mid a \in A , \, b \in B \right\} }}{} und
\mathl{A - B := { \left\{ a - b \mid a \in A , \, b \in B \right\} }}{.} \aufzaehlungfuenf{Zeige, dass
\mathl{\sup(A+B) = \sup(A) + \sup(B)}{.} }{Wie lautet die entsprechende Formel für
\mathl{\sup(A-B)}{?} }{Zeige, dass
\mathl{\sup(A \cup B) = \max \{\sup(A), \sup(B) \}}{.} }{Was lässt sich über
\mathl{\sup(A \cap B)}{} sagen? }{Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{a \in \R_{\geq 0}}{,}
\mathl{k \in \N}{,}
\mathl{M = { \left\{ x \in \R_{\geq 0} \mid x^k \leq a \right\} }}{} und
\mathl{s= {\operatorname{sup} \, ( M ) }}{.} Zeige
\mathl{s^k=a}{.}

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für $K$ die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k } \cdot { \frac{ 1 }{ n^k } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ \leq} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ \defeq} { \lim_{ n \rightarrow \infty} { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für welches $n$ wird diese Genauigkeit erreicht?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n }
{ =} { \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass jede Folge in $\R$ eine monotone Teilfolge besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}