Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Quadrieren

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,u\longmapsto {\sqrt {u}},$

eine wachsende Funktion ist.

Aufgabe

Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen ${}s$ und ${}t$ die Beziehung

${\sqrt {st}}={\sqrt {s}}{\sqrt {t}}$

besteht.

Aufgabe *

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Tipp: Satz des Pythagoras.

Aufgabe

Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge ${}a$ (also jedem ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$) die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.

Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, ${}a\neq 0$.

Aufgabe *

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

$0{,}3333333333\dotso$

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von ${}3x$ sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ${}3x$?

Aufgabe

Die beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

$x=0,z_{1}z_{2}z_{3}\ldots$

und

$y=0,u_{1}u_{2}u_{3}\ldots$

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen ${}xy$ konvergiert.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.

Zu zwei reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\frac {x+y}{2}}$

das arithmetische Mittel.

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\sqrt {x\cdot y}}$

das geometrische Mittel.

Aufgabe *

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe

Es seien ${}b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch ${}x_{0}=a$, ${}y_{0}=b$ und durch

$x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},$

$y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.$

Zeige, dass ${}[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.

Aufgabe

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit ${}x_{n}\in I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}x_{n+1}:={\frac {(k-1)x_{n}+{\frac {a}{x_{n}^{k-1}}}}{k}}\,$

eine Folge definiert wird, die gegen ${}{\sqrt[{k}]{a}}$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$, die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende Folge in ${}K$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ${}{\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ ein Supremum besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$. Ferner sei ${}A+B:={\left\{a+b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$ und ${}A-B:={\left\{a-b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$.

1. Zeige, dass ${}\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
2. Wie lautet die entsprechende Formel für ${}\sup(A-B)$?
3. Zeige, dass ${}\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$.
4. Was lässt sich über ${}\sup(A\cap B)$ sagen?
5. Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$, ${}k\in \mathbb {N}$, ${}M={\left\{x\in \mathbb {R} _{\geq 0}\mid x^{k}\leq a\right\}}$ und ${}s={\operatorname {sup} \,(M)}$. Zeige ${}s^{k}=a$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für ${}K$ die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.

Aufgabe

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

${}{\binom {n}{k}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\leq {\frac {1}{k!}}\,,$

b)

${}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\leq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,.$

Aufgabe

Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von

${}e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,.$

Für welches ${}n$ wird diese Genauigkeit erreicht?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\,$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass jede Folge in ${}\mathbb {R}$ eine monotone Teilfolge besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.