Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Für jede
natürliche Zahl
sei eine Aussage
gegeben. Es gelte
ist wahr.
- Für alle
gilt: wenn
gilt, so ist auch
wahr.
Dann gilt für alle
.
Es seien Elemente in einem Körper. Ferner sei
eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Es sei ein
angeordneter Körper
und
eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes
mit
die Abschätzung
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zwischen je zwei Elementen
auch eine rationale Zahl
(mit
)
mit
Es sei ein
angeordneter Körper
und sei
eine
Folge
in
.
Dann besitzt maximal einen Grenzwert.
Es sei ein angeordneter Körper. Wenn eine
Folge
in
konvergent ist,
so ist sie auch beschränkt.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien
und
konvergente Folgen
in
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Folge
ist konvergent und es gilt
-
- Die Folge
ist konvergent und es gilt
-
- Für
gilt
-
- Es sei
und
für alle
. Dann ist
ebenfalls konvergent mit
-
- Es sei
und
für alle
. Dann ist
ebenfalls konvergent mit
-
Es sei ein angeordneter Körper und es seien
und
drei
Folgen
in
. Es gelte
und
und
konvergieren
beide gegen den gleichen Grenzwert
.
Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert
.
Eine
beschränkte
und
monotone
Folge in
konvergiert.
Es sei
,
,
eine
Intervallschachtelung in
.
Dann besteht der Durchschnitt
.
Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.
Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen
besitzt ein
Supremum
in .
Es sei eine
beschränkte
Folge von
reellen Zahlen.
Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
Die Intervalle
,
,
mit den Grenzen
definieren eine Intervallschachtelung.
Es sei
eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.
Dann ist
Es sei eine fallende
Nullfolge
von nichtnegativen
reellen Zahlen.
Dann
konvergiert
die
Reihe
.
Es sei eine
konvergente Reihe
von
reellen Zahlen
und
eine
Folge
komplexer Zahlen
mit
für alle
.
Dann ist die Reihe
absolut konvergent.
Es sei
eine
Reihe
von
komplexen Zahlen. Es gebe eine
reelle Zahl
mit
und ein
mit
für alle
(Insbesondere sei
für
).
Dann konvergiert die Reihe
absolut.
Es sei ein
Körper und sei
der Polynomring über
. Es seien
Polynome mit
.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
mit
Es sei ein
Körper und sei
der Polynomring über
. Es sei
ein Polynom und
.
Dann ist genau dann eine
Nullstelle
von
, wenn
ein Vielfaches des linearen Polynoms
ist.
Es sei ein
Körper und sei
der Polynomring über
. Es sei
ein Polynom
(
)
vom
Grad
.
Dann besitzt maximal
Nullstellen.
Es sei eine
endliche Menge
mit
Elementen und
eine endliche Menge mit
Elementen. Es sei
.
Dann gibt es keine injektive Abbildung
Die Menge der rationalen Zahlen
ist abzählbar.
Die Menge der
reellen Zahlen
ist nicht abzählbar.
Es sei
eine Teilmenge,
eine
Funktion
und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist stetig im Punkt
.
- Für jede
konvergente Folge
in
mit
ist auch die Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert
.
Es seien
und
Teilmengen und
und
Funktionen mit
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
in
und
in
stetig ist, so ist auch die Hintereinanderschaltung
in
stetig.
- Wenn
und
stetig sind, so ist auch
stetig.
Es sei
und seien
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig. Für eine Teilmenge
,
auf der
keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
stetig.
Es seien
reelle Zahlen
und sei
eine
stetige Funktion. Es sei
eine reelle Zahl zwischen
und
.
Dann gibt es ein
mit
.
Es sei
ein
Intervall
und
eine stetige, streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
ist ebenfalls stetig.
Es sei
. Für
ungerade ist
die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Für gerade ist die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Es sei
ein abgeschlossenes beschränktes
Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
Eine stetige Funktion
auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall
ist gleichmäßig stetig.
Es sei
eine Teilmenge und
die Menge aller
Berührpunkte
von
. Es sei
eine gleichmäßig stetige Funktion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
Es sei eine
positive
reelle Zahl. Dann besitzt die
Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Es seien
zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.
Dann ist auch das
Cauchy-Produkt absolut konvergent und für die Summe gilt
Für jedes
ist die
Exponentialreihe
absolut konvergent.
Für
komplexe Zahlen
gilt
Die Exponentialfunktion
- Es ist
.
- Für jedes
ist
. Insbesondere ist
.
- Für ganze Zahlen
ist
.
- Für
reelles
ist
.
- Für reelle Zahlen
ist
und für
ist
.
- Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.
Die Funktionen
und
besitzen für
folgende Eigenschaften.
- Für
ist
Speziell gilt die eulersche Formel
-
- Es ist
und
.
- Es ist
und
.
- Es ist
und
-
- Es gelten die Additionstheoreme
und
-
- Es gilt
-
Es sei
eine Folge von
stetigen Funktionen,
die
gleichmäßig
gegen die Funktion konvergiert.
Dann ist stetig.
Es sei eine Menge und sei
Dann konvergiert die Reihe
(also die Funktionenfolge
)
gleichmäßig
und
punktweise absolut
gegen eine Funktion
Es sei eine
Folge
komplexer Zahlen
und
. Die
Potenzreihe
sei für eine komplexe Zahl
,
,
konvergent.
Dann ist für jeden
reellen
Radius
mit
die Potenzreihe
auf der
abgeschlossenen Kreisscheibe
punktweise
absolut
und
gleichmäßig konvergent.
Es sei
eine
Potenzreihe
mit einem positiven
Konvergenzradius
.
Dann stellt die Potenzreihe auf der
offenen Kreisscheibe
eine
stetige Funktion
dar.
Für die (durch die Exponentialreihe definierte) reelle Exponentialfunktion
gilt
Es seien
und
Potenzreihen
mit positiven
Konvergenzradien
und derart, dass es ein
gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
übereinstimmen.
Dann ist
für alle
.
Es sei
,
,
eine
summierbare Familie
von
komplexen Zahlen
mit der Summe
. Es sei
eine weitere Indexmenge und zu jedem
sei eine Teilmenge
gegeben mit
und
für
.
Dann sind die Teilfamilien
,
,
summierbar und für ihre Summen
gilt, dass die Familie
,
,
summierbar ist mit
Es sei
eine
konvergente
Potenzreihe
mit dem
Konvergenzradius
und sei
.
Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius
derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen
dargestellten Funktionen
auf
übereinstimmen.
Die Koeffizienten von sind
und insbesondere ist
Es sei
offen,
ein Punkt und
eine Funktion.
Dann ist in
genau dann
differenzierbar,
wenn es ein
und eine Funktion
gibt mit
stetig
in
und
und mit
Es sei
offen,
ein Punkt und
Funktionen,
die in
differenzierbar
seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.
- Die Summe
ist differenzierbar in
mit
-
- Das Produkt
ist differenzierbar in
mit
-
- Für
ist auch
in
differenzierbar mit
-
- Wenn
keine Nullstelle in
besitzt, so ist
differenzierbar in
mit
-
- Wenn
keine Nullstelle in
besitzt, so ist
differenzierbar in
mit
-
Es seien
und
offene Mengen
in
und seien
und
Funktionen mit
. Es sei
in
differenzierbar
und
sei in
differenzierbar.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
in differenzierbar mit der
Ableitung
Es seien
und
offene Mengen
in
und sei
eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion
differenzierbar
mit
.
Dann ist auch die
Umkehrfunktion
in
differenzierbar mit
Es sei
offen
und sei
eine
Funktion, die in
ein
lokales Extremum
besitze und dort
differenzierbar
sei.
Dann ist
Es sei
und sei
eine
stetige,
auf
differenzierbare Funktion.
Dann gibt es ein
mit
Es sei
eine
differenzierbare Funktion mit
für alle
.
Dann ist konstant.
Es sei
ein
offenes Intervall
und
eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Funktion
ist genau dann auf
wachsend (bzw. fallend), wenn
(bzw.
) für alle
ist.
- Wenn
für alle
ist und
nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist
streng wachsend.
- Wenn
für alle
ist und
nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist
streng fallend.
Es sei
und seien
stetige,
auf
differenzierbare Funktionen
mit
für alle
.
Dann ist
und es gibt ein
mit
Es sei
ein
offenes Intervall
und
ein Punkt. Es seien
stetige Funktionen, die auf
differenzierbar
seien mit
und mit
für
.
Es sei vorausgesetzt, dass der
Grenzwert
existiert.
Dann existiert auch der Grenzwert
und sein Wert ist ebenfalls .
Es sei
ein Intervall und
eine differenzierbare Funktion.
Dann ist genau dann eine konvexe
(konkave)
Funktion, wenn die Ableitung
wachsend
(fallend)
ist.
Es sei
eine
konvexe Funktion,
seien
und
mit
.
Dann ist
Es sei
konvergente Potenzreihe
mit dem
Konvergenzradius
.
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion
ist in jedem Punkt
differenzierbar
mit
Die Exponentialfunktion
ist differenzierbar mit
Es sei
.
Dann ist die Funktion
differenzierbar und ihre Ableitung ist
Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit
Die Sinusfunktion
ist differenzierbar mit
und die
Kosinusfunktionist differenzierbar mit
Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
,
,
und
. Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form
,
.
- Es ist
,
,
,
und
. Die Nullstellen des Sinus sind von der Form
,
.
Die reelle Sinusfunktion
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
Die komplexe Exponentialfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
für ein
ist.
- Es ist
genau dann, wenn
für ein
ist.
Zu jeder
komplexen Zahl
,
,
gibt es eine eindeutige Darstellung
mit
und mit
.
Es sei
eine
komplexe Zahl
und
.
Dann gibt es eine komplexe Zahl mit
Es sei
.
Die Nullstellen des Polynoms über
sind
In gilt die Faktorisierung
Es sei ein
reelles
Intervall,
eine -mal
differenzierbare
Funktion
und
ein innerer Punkt des Intervalls.
Dann gibt es zu jedem Punkt
ein
mit
Dabei kann zwischen
und
gewählt werden.
Es sei ein
beschränktes
abgeschlossenes Intervall,
eine -mal
stetig differenzierbare
Funktion,
ein
innerer Punkt
und
.
Dann gilt zwischen und dem
-ten
Taylor-Polynom
die Fehlerabschätzung
Es sei ein
reelles Intervall,
eine -mal
stetig differenzierbare
Funktion,
und
ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte
- Wenn
gerade ist, so besitzt
in
kein lokales Extremum.
- Es sei
ungerade. Bei
besitzt
in
ein isoliertes lokales Minimum.
- Es sei
ungerade. Bei
besitzt
in
ein isoliertes lokales Maximum.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann ist
Riemann-integrierbar.
Es sei ein
kompaktes Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
stetige Funktion. Es sei
und es sei
die zugehörige Integralfunktion.
Dann ist
differenzierbar
und es gilt
für alle
.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann besitzt eine
Stammfunktion.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
stetige Funktion, für die eine
Stammfunktion
sei.
Dann gilt für
die Gleichheit
Es sei
eine in
konvergente
Potenzreihe.
Dann ist die Potenzreihe
ebenfalls in konvergent und stellt dort eine
Stammfunktion
für
dar.
Es seien
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
Es sei
eine
bijektive
differenzierbare Funktion
und es sei
eine
Stammfunktion
von
.
Dann ist
eine Stammfunktion der
Umkehrfunktion
.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion. Es sei
stetig differenzierbar.
Dann gilt
Es sei
(mit
)
ein quadratisches
Polynom ohne reelle Nullstelle
(d.h., dass
ist).
Dann ist
eine Stammfunktion von
und für
gilt die Rekursionsformel
Es seien
,
,
Polynome
und es sei
mit verschiedenen
.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
,
,
,
mit
Es seien
,
,
Polynome und es sei
mit verschiedenen
und verschiedenen quadratischen Polynomen
ohne reelle Nullstellen.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
,
,
,
und eindeutig bestimmte
lineare Polynome
,
,
, mit
Es sei eine
rationale Funktion
in der
Exponentialfunktion,
d.h. es gebe Polynome
,
,
derart, dass
gilt.
Dann kann man durch die
Substitution
das Integral
auf das Integral einer rationalen Funktion zurückführen.
Es sei eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen
und
gegeben, d.h. es gebe zwei Polynome
und
in zwei Variablen mit
derart, dass
gilt.
Dann führt die Substitution
das Integral
auf das Integral einer rationalen Funktion zurück.
Es sei eine
rationale Funktion
in
und in
(mit
und so, dass
auch positive Werte annimmt),
schreiben kann, d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen,
,
,
derart, dass
gilt.
Dann kann man durch eine Substitution der Form
(),
die Berechnung von
auf ein Integral der Form
-
,
-
,
-
,
zurückführen, wobei wieder eine rationale Funktion in zwei Variablen ist.
In diesen drei Fällen führen die Substitutionen
-
,
,
,
auf das Integral über eine rationale Funktion in trigonometrischen Funktionen bzw. in Hyperbelfunktionen
Es sei
eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen
und
wobei keine Nullstelle besitze. Es sei
eine
Stammfunktion
von
und
eine Stammfunktion von
. Weiter sei
ein Teilintervall mit
.
Dann ist eine
bijektive Funktion
auf sein Bild
und die
Lösungen
dieser Differentialgleichung haben die Form
Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften
und
erfüllen, so ist
die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.
Es sei
eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer
stetigen Funktionohne Nullstelle. Es sei eine
Stammfunktion
von
mit der Umkehrfunktion
Dann sind die Funktionen
die
Lösungen
dieser Differentialgleichung auf dem Intervall
.