Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex
\setcounter{section}{45}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für die Addition \maabbeledisp {+} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R} } {(x,y)} {x+y } {,} und für die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} { {\mathbb R}^2 } { {\mathbb R} } { (x,y) } { x \cdot y } {,} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
konstant mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit dem Differential
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{{\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(a \varphi)\right)_{P}
}
{ =} { a \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ im Nullpunkt \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ in jedem Punkt \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$, $W_1$ und $W_2$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Es seien
\maabb {L_1} {V} {W_1
} {}
und
\maabb {L_2} { V} {W_2
} {}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {L_1 \times L_2} {V} { W_1 \times W_2
} {v} {(L_1(v),L_2(v))
} {,}
${\mathbb K}$-linear ist.
} {Es seien
\maabb {f_1} { V} {W_1
} {}
und
\maabb {f_2} {V } { W_2
} {}
im Punkt
\mathl{P \in V}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {f=(f_1 \times f_2)} {V} {W_1 \times W_2
} {Q} {(f_1(Q),f_2(Q))
} {,}
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} {\left(Df_1\right)_{P} \times \left(Df_2\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K} \times V} { V
} {(s,v)} {sv
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (s,v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} (t,w)
}
{ =} {tv+ sw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven \zusatzklammer {für eine differenzierbare Kurve \maabb {f} {J} {V } {} und eine differenzierbare Umparametrisierung \maabb {h} {I} {J } {}} {} {} ab.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I \subseteq \R$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.1.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge. Weiter seien
\maabb {f,g} {G } {\R
} {}
zwei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Wende die
Kettenregel
und
Aufgabe 45.1
auf das Diagramm
\mathdisp {G \stackrel{f,g} \longrightarrow \R \times \R \stackrel{\operatorname{mult} } \longrightarrow \R} { }
an, um zu zeigen, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \cdot g)\right)_{P}
}
{ =} { g(P) \cdot \left(Df \right)_{P} + f(P) \cdot \left(Dg\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Intervall,
\mathl{W}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {I} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}
Zeige, dass zwischen dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
und der
\definitionsverweis {Kurven-Ableitung}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{t} { \left( 1 \right) }
}
{ =} { \varphi'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine Abbildung und
\maabb {L} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
in $P$ mit dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
$L$.
}{
Der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{\varphi(P+v) - \varphi(P) -L(v)}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$.
}{Der Limes
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{ \Vert {\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)} \Vert}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
in einer Variablen. Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb R}^n} { {\mathbb R}^n
} {(x_1 , \ldots , x_n)} {(f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n))
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$ und $W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt,
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
und
\maabb {f} {G} { {\mathbb K}
} {}
in $P$
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann die Produktabbildung
\maabbdisp {f \cdot \varphi} {G} {W
} {}
in $P$ differenzierbar ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \cdot \varphi)\right)_{P}
}
{ =} { f(P) \cdot \left(D \varphi\right)_{P} + \left(Df\right)_{P} \cdot \varphi (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {Tipp: Verwende
Aufgabe 45.7
und die Kettenregel.}
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