Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex
\setcounter{section}{56}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise den \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für \definitionsverweis {stetige Kurven}{}{} \maabbdisp {g} {I} {V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I \times U} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,}
das auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraums}{}{}
definiert sei und
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{}
genüge. Es sei
\mathl{W \subseteq V}{} ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
mit der Eigenschaft, dass für alle
\mathl{t \in I}{} und
\mathl{P \in U \cap W}{} die Beziehung
\mathl{f(t,P) \in W}{} gilt. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0)=w \in U \cap W} { }
ganz in $W$ verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die ersten drei Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y^2+t+yt^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathl{y(0)=0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die ersten vier Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} -t & t^2 \\ 2 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=-1} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in Beispiel 56.4 eine explizite Formel für die Iterationen $\varphi_n$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{G \subseteq \R^m}{} offen und
\maabbdisp {\varphi} {G} {\R^n
} {}
eine in $P \in G$
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{}
mit
\definitionsverweis {injektivem}{}{}
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
$U$ von $P$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(\varphi(P)) \cap U
}
{ = }{ \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R \times \R^2} {\R^2
} {(t,u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2)
} {.}
Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die nicht-\definitionsverweis {regulären}{}{}
Punkte des Vektorfeldes
\maabbeledisp {f_t} {\R^2} {\R^2
} {(u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2)
} {.}
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(1)= (3,2,6)} { }
zum
\definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R \times \R^3} {\R^3
} {(t,x,y,z)} { t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2 e^t )(0,4,5)+(2,2,2)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die ersten vier Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} t^2 & -1 \\ t & t^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=1} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f_n} {T} {\R^m
} {}
eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass $f_n$ genau dann gegen eine
\definitionsverweis {Grenzabbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {T} {\R^m
} {}
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,}
wenn die
\definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
\mathl{(f_i)_n}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen $f_i$ konvergieren.
}
{} {}
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