Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 56
- Übungsaufgaben
Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven
wobei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.
Es sei
ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems
ganz in verläuft.
Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung .
Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung und .
Bestimme in Beispiel 56.4 eine explizite Formel für die Iterationen .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei offen und
eine in total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung von mit gibt.
Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung und .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Menge und
eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass genau dann gegen eine Grenzabbildung
gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen gleichmäßig gegen konvergieren.
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