Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 56



Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

wobei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.


Aufgabe

Es sei

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

ganz in verläuft.


Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.4 eine explizite Formel für die Iterationen .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei offen und

eine in total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung von mit gibt.

Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

zum ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Menge und

eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass genau dann gegen eine Grenzabbildung

gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen gleichmäßig gegen konvergieren.


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