Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition

Gleichmäßig konvergente Abbildungsfolge

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}M$ ein metrischer Raum und

$f_{n}\colon T\longrightarrow M$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow M$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ gibt mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$