Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 57



Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion


BodyMassIndex.png

Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

berechnet, wobei für die Masse und für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

  1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
  2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
  3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
  4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
  5. Berechne die Hesse-Matrix von und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
  6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
  7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.


Aufgabe *

Es sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe

Es sei

versehen mit der durch die Supremumsnorm gegebene Metrik. Zeige, dass die Ableitung

keine starke Kontraktion ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

gehört.


Aufgabe (3 Punkte)

Welche linearen Vektorfelder

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (5 Punkte)

Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.


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