Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 58



Übungsaufgaben
Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?

Aufgabe

Betrachte zu mit und die „sichelförmige“ Menge

Für welche ist diese Menge sternförmig?


Aufgabe

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Ob ein Vektorfeld auf die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.


Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

auf einer offenen Teilmenge nennt man

die Rotation von .


Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Zeige, dass genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ist.


Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.


Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei offen. Zeige, dass genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.

Tipp: Man denke an den Beweis von Lemma 35.13.


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