Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 58/latex
\setcounter{section}{58}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Nebra Scheibe.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?} }
\bildlizenz { Nebra Scheibe.jpg } {} {Dbachmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte zu
\mathl{r,s \in \R_+}{} mit
\mathl{r+s > 1}{} und
\mathl{s < r+1}{} die \anfuehrung{sichelförmige}{} Menge
\mathdisp {M_{r,s} = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq r , \, \sqrt{(x-1)^2+y^2} \geq s \right\} }} { . }
Für welche $r,s$ ist diese Menge
\definitionsverweis {sternförmig}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { \left( 2x-y \cos x , \, - \sin x \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.
}
{} {}
Ob ein Vektorfeld auf
\mathl{U \subseteq \R^3}{} die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{}
erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.
Zu einem
\definitionsverweis {partiell differenzierbaren}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbdisp {G} {U} {\R^3
} {}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mathl{U \subseteq \R^3}{} nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) }(P)
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_2 } }(P)- { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_3 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_3 } }(P)-{ \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_1 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_1 } }(P)-{ \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_2 } }(P) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Rotation}{}
von $G$.
Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {G} {U} {\R^3
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $G$ genau dann die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{}
erfüllt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x,y,z \neq 0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( x^3-z^2 , \, { \frac{ xy }{ z } } , \, { \frac{ z }{ x^2y } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \times \R_{>0} } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( ye^{xy} + \ln z , \, xe^{xy} - 2yz , \, { \frac{ x }{ z } } -y^2 \right) } {.}
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.
b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y e^z-3x^2z , \, xe^z+2yz , \, xye^z+y^2-x^3 \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x, y \neq 0 , \, z>0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( { \frac{ e^{3x}-z }{ y } } , \, { \frac{ \cos x }{ z^2 } } , \, { \frac{ \ln z }{ xy } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{.}
Zeige, dass $U$ genau dann
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, wenn man je zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch einen
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
verbinden kann.
}
{} {Tipp: Man denke an den Beweis von
Lemma 35.13.}
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