Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 77/latex

\setcounter{section}{77}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jeden \definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ T_PS^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem Punkt $P$ auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} durch einen \anfuehrung{uniformen}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Weg}{}{} auf einem \definitionsverweis {Großkreis}{}{} realisieren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe möglichst einfache Realisierungen für die \definitionsverweis {Tangentialvektoren}{}{} in einem Punkt
\mathl{P=(s,t)}{} auf dem Zylindermantel
\mathl{S^1 \times \R}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei $P \in M$ und
\mathl{Q=\varphi(P)}{} und es seien \maabbdisp {\gamma_1,\gamma_2} {I} {M } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{} mit einem offenen Intervall
\mathl{0 \in I}{} und
\mathl{\gamma_1 (0) = \gamma_2(0)=P}{.} Es seien \mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {} im Punkt $P$ \definitionsverweis {tangential äquivalent}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} \mathkor {} {\varphi \circ \gamma_1} {und} {\varphi \circ \gamma_2} {} tangential äquivalent in $Q$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {injektiven}{}{,} nicht \definitionsverweis {surjektiven}{}{,} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R} {\R } {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T_P(\varphi)} {T_P \R} {T_{\varphi(P)} \R } {} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bijektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {surjektiven}{}{,} nicht \definitionsverweis {injektiven}{}{,} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {S^1} {S^1 } {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T_P(\varphi)} {T_P S^1} {T_{\varphi(P)} S^1 } {} in jedem Punkt
\mathl{P \in S^1}{} bijektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} die Addition von Wegen \maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {I} {M } {} mit
\mathl{\gamma_1(0) =\gamma_2(0)=P \in M}{,} die man durch eine Karte \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} mit
\mathl{\alpha(P)=0}{} aus der Addition im $\R^n$ erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Tangentialabbildung $T_P(\varphi)$ zu \maabbeledisp {\varphi} {\R^1} {S^1 } {t} {( \cos t, \sin t ) } {,} in jedem Punkt
\mathl{P \in \R}{} bijektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T_P(\varphi)} {T_PM} {T_{\varphi(P)}N } {} in einem Punkt
\mathl{P \in M}{} nicht surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T_P(\varphi)} {T_PM} {T_{\varphi(P)}N } {} in einem Punkt
\mathl{P \in M}{} nicht injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{P \in M}{} ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.
\mathdisp {T= { \left\{ (U,f) \mid U \subseteq M \text{ offen} , \, P \in U , \, f \in C^1(U,\R) \right\} }} { . }
Wir betrachten die \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(U,f) \sim (V,g) : \text{ es gibt eine offene Menge } W \text{ mit } P \in W \subseteq U \cap V \text{ mit } f {{|}} _W= g {{|}}_W} { . }
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $T$ ist. } {Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Ringstruktur}{}{} auf der Menge der \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zu dieser Äquivalenzrelation gibt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} $Y$ eine Menge und \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{}
\mathdisp {{\mathcal T } = { \left\{ V \subseteq Y \mid \varphi^{-1}(V) \text{ ist offen in } X \right\} }} { }
eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} auf $Y$ definiert, bezüglich der $\varphi$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man \stichwort {Bildtopologie} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf dem $\R^n$ durch
\mathdisp {P \sim Q, \text{ falls } P-Q \in \Z^n} { }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} definiert wird. Die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} {\R^n /\!\!\sim }
{ =} {\R^n/\Z^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sei mit der \definitionsverweis {Bildtopologie}{}{} zur \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{} \maabb {\varphi} {\R^n} {Y } {} versehen. Zeige, dass $Y$ ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{P \in M}{.} Zeige, dass für eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\gamma} {I} {M } {} mit
\mathl{\gamma(0)= P}{} und
\mathl{a \in \R}{} im \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
\mathl{T_PM}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a [\gamma] }
{ =} { [ \lambda] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\lambda$ durch
\mathl{\lambda(t):= \gamma(at)}{} definiert sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $M$ eine $C^k$-\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Definiere für $C^k$-\definitionsverweis {Kurven}{}{} \maabbdisp {\gamma_1,\gamma_2} {I} {M } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(0) }
{ = }{ \gamma_2(0) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Äquivalenzrelation, die in einer \zusatzklammer {jeder} {} {} \definitionsverweis {Karte}{}{} die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} bis zur Ordnung $k$ berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} und bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{P \in M}{.} Wir sagen, dass zwei \definitionsverweis {Kurven}{}{} \maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {I} {M } {} mit
\mathl{\gamma_1(0)= \gamma_2(0)= P}{} den gleichen \stichwort {Kurvenkeim} {} definieren, wenn es ein
\mathl{\epsilon >0}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma_1\!\mid_{[-\epsilon, \epsilon]} }
{ =} { \gamma_2\!\mid_{[-\epsilon, \epsilon]} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf der Menge aller Kurven \maabb {\gamma} {I} {M } {} mit $\gamma(0)= P$ \zusatzklammer {und mit verschiedenen offenen Intervallen
\mathl{0 \in I}{}} {} {} definiert.

b) Zeige, dass \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{,} die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Der \definitionsverweis {Quotientenraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \R^n/\Z^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei mit der \definitionsverweis {Bildtopologie}{}{} versehen. Definiere auf $Y$ eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {Y } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} ist, und dass die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} in jedem Punkt ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}