???: Dynkin-System und

-Algebra
???: Messbarkeitskriterium für Abbildungen
???: Borel-Mengen und Quader
Die Menge der
Borel-Mengen
im
stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader
erzeugten
-
Algebra
überein.
Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit
rationalen
Eckpunkten beschränken.
???: Messbarkeit stetiger Abbildungen
Es seien
und
topologische Räume,
die wir als
Messräume
mit den zugehörigen
-
Algebren
der
Borelmengen
auffassen.
Dann ist jede
stetige Abbildung
-
messbar.
???: Rechenregeln für Prämaße
Es sei
eine Menge,
ein
Präring
auf
und
ein
Prämaß
auf
.
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
.
- Für Mengen
mit
gilt
.
Insbesondere ist ein Prämaß
monoton.
- Für Mengen
gilt
.
- Seien
,
,
und
aus
mit
Dann gilt
-

- Es sei
eine
Ausschöpfung
in
. Dann ist
-

wobei diese Folge
monoton wachsend
ist.
- Es sei
eine
Schrumpfung
in
und sei
vorausgesetzt. Dann ist
-

wobei diese Folge
monoton fallend
ist.
???: Eindeutigkeitssatz für Maße
???: Fortsetzung von äußeren Maßen
???: Mengen mit Zerlegungseigenschaft zu äußerem Maß
???: Prämaß und Zerlegungseigenschaft
???: Fortsetzungssatz für Maße
???: Beschreibung des Produkt-Präringes
Es seien
Mengen mit darauf erklärten
Präringen.
Dann besteht der
Produkt-Präring
aus allen endlichen
disjunkten Vereinigungen
von
Quadern.
???: Konstruktion des Produktprämaßes auf Quadern
Es seien
Mengen mit darauf erklärten
Präringen und
Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die für eine endliche
disjunkte Vereinigung
-

von
Quadern
(wobei die Seiten endliches Maß haben)
durch
-

mit
definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.
- Es seien
(insbesondere sei dies definiert).
Dann ist die Zuordnung
ein
Prämaß
auf dem
Produkt-Präring.
???: Produktsatz für Maße
Es seien
-
endliche
Maßräume
gegeben.
Dann gibt es genau ein
(
-endliches)
Maß
auf der
Produkt-
-
Algebra
, das für alle messbaren Quader
(deren Seiten endliches Maß besitzen)
den Wert
-

besitzt.
???: Das Borel-Lebesgue-Maß auf

???: Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes
Der
sei mit der
-
Algebra
der
Borel-Mengen
versehen.
Dann gibt es auf
genau ein
(
-
endliches)
Maß
-
das für alle Quader
-

den Wert
-

besitzt.
Die Aussage gilt auch für
(achsenparallele)
Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
???: Maß auf Untervektorräumen
???: Translationsinvariante Maße auf dem

.
Das
Borel-Lebesgue-Maß
ist das einzige
translationsinvariante Maß
auf
, das auf dem Einheitswürfel den Wert
besitzt.
???: Translationsinvariante Maße
???: Die lineare Transformationsformel
Es sei
-
eine
lineare Abbildung.
Dann gilt für jede
messbare Menge
die Beziehung
-

???: Isometrie und Maßtreue
Eine
lineare Isometrie
-
ist
volumentreu.
???: Kanonisches Maß auf euklidischem Vektorraum
???: Volumen eines Parallelotops mit Skalarprodukt
Es sei
ein
euklidischer Vektorraum, sei
eine
Basis
von
und sei
das davon
erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das
Borel-Lebesgue-Maß
auf
-

???: Supremum von messbaren Funktionen
???: Grenzfunktion von messbaren Funktionen
Es sei
ein
Messraum und sei
-
eine
Folge
von
messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine
Grenzfunktion
konvergiere.
Dann ist auch
messbar.
???: Einfache Funktionen und messbare Funktion
Es sei
ein
Messraum und sei
-
eine
messbare numerische
nichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine
wachsende Folge
von
nichtnegativen
einfachen Funktionen
-
die punktweise gegen
konvergieren.
???: Subgraph einer messbaren Funktion
???: Charakterisierung von integrierbaren Funktionen
???: Graph einer messbaren Funktion
???: Tschebyschow-Abschätzung
???: Allgemeine Transformationsformel
Es sei
ein
-
endlicher
Maßraum,
ein
Messraum
und
-
eine
messbare Abbildung.
Es sei
das
Bildmaß
von
unter
, das ebenfalls als
-
endlich
vorausgesetzt sei, und es sei
-
eine
-
integrierbare Funktion.
Dann ist auch
-
integrierbar,
und es gilt
-

???: Satz von der monotonen Konvergenz
???: Riemann-integrierbare Funktionen und Maßtheorie
Es sei
-
eine
messbare
Riemann-integrierbare
Funktion.
Dann gilt
-

???: Linearität des Integrals
Es sei
ein
-
endlicher
Maßraum. Es seien
integrierbare
messbare
reellwertige
Funktionen
auf
und
.
Dann ist auch
integrierbar, und es gilt
-

???: Lemma von Fatou
Es sei
ein
-
endlicher
Maßraum und es sei
-
eine
Folge
von nichtnegativen
messbaren
numerischen Funktionen.
Dann gilt
-

???: Der Satz von der majorisierten Konvergenz
???: Stetige Abhängigkeit des Integrals
Es sei
ein
-
endlicher
Maßraum,
ein
metrischer Raum,
und
-
eine
Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle
ist die Funktion
messbar.
- Für alle
ist die Funktion
stetig
in
.
- Es gibt eine
nichtnegative messbare integrierbare Funktion
-
mit
-

für alle
und alle
.
Dann ist die Funktion
-
wohldefiniert und stetig in
.
???: Differenzierbare Abhängigkeit des Integrals
Es sei
ein
-
endlicher
Maßraum,
ein nichtleeres
offenes Intervall
und
-
eine
Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle
ist die Funktion
integrierbar.
- Für alle
ist die Funktion
(stetig)
differenzierbar.
- Es gibt eine
nichtnegative
messbare integrierbare Funktion
-
mit
-

für alle
und alle
.
Dann ist die Funktion
-
(stetig)
differenzierbar
in
, die Zuordnung
ist
integrierbar
und es gilt die Formel
-

???: Querschnittslemma
Es seien
und
-
endliche Maßräume und sei
eine
messbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
-
und -
messbar.
???: Das Cavalieri-Prinzip (Integrationsversion)
Es seien
und
-
endliche Maßräume.
Dann gilt für alle
messbaren Teilmengen
die Beziehung
-

???: Cavalieri-Prinzip (Verschiebungsversion)
Es sei
ein
-
endlicher
Maßraum und
-
eine
messbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
-
bijektiv
und
maßtreu.
???: Volumen eines Rotationskörpers
Es sei
-
eine
nichtnegative
messbare Funktion
und sei
der
Rotationskörper
zum
Subgraphen
von
um die
-Achse.
Dann besitzt
das Volumen
-
![{\displaystyle {}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fbef9f0a30ae1eb88d739e10573518a4b612d5)
wobei für die zweite Formel
als
stetig
vorausgesetzt sei.
???: Der Satz von Fubini
Es seien
und
-
endliche Maßräume und sei
-
eine
integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
-
und
-
fast überall
reellwertig und fast überall
integrierbar,
und es gilt
-

???: Integration des Produkts von zwei Funktionen über dem Produktraum
Es seien
und
-
endliche Maßräume und es seien
und
integrierbare Funktionen.
Dann ist auch die Funktion
-
integrierbar und es gilt
-

???: Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen
Es sei
offen und sei
-
eine
stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
eine
Nullmenge.
Dann ist auch
eine Nullmenge.
???: Die Transformationsformel
???: Die Transformationsformel für Integrale
???: Transformationsformel für Polarkoordinaten
Es sei
-
die
Polarkoordinatenauswertung
und es seien
und
offene Mengen,
auf denen
einen
Diffeomorphismus
induziert. Es sei
-
eine
integrierbare Funktion.
Dann ist
-

Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem
die Formel
-

???: Fehlerintegral
Es ist
-

???: Fasern und differenzierbare Mannigfaltigkeiten
???: Fasern und differenzierbare Mannigfaltigkeiten
???: Eigenschaften der Tangentialabbildung (Punkt)
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
,
und es sei
-
die zugehörige
Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
und
offene Teilmengen
sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem
totalen Differential
.
- Wenn
-
mit
und
und
-
mit
und
Karten
sind, so ist das Diagramm
-
kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen
bzw.
gegeben sind.
ist
-
linear.
- Wenn
eine weitere
Mannigfaltigkeit,
und
-
eine weitere differenzierbare Abbildung mit
ist, so gilt
-

- Wenn
ein
Diffeomorphismus
ist, dann ist
ein
Isomorphismus.
- Für eine
differenzierbare Kurve
-
mit einem offenen Intervall
,
und
gilt im Tangentialraum
die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}[\gamma ]=(T_{0}(\gamma ))(1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f50e2db5bb3db3bd5d4f5b95e108e346ee89842)
???: Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten sind ...
???: Tangentialraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit
???: Eigenschaften der Tangentialabbildung
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
-
die zugehörige
Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es gibt ein
kommutatives Diagramm
-
- Für eine Karte
-
zu
offen und mit
offen gibt es ein kommutatives Diagramm
-
- Wenn
und
offene Teilmengen
sind und die Tangentialbündel mit
bzw.
identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich
-
- Wenn
eine weitere
Mannigfaltigkeit
und
-
eine weitere differenzierbare Abbildung ist, so gilt
-

- Die Tangentialabbildung
ist
stetig.
- Wenn
ein
Diffeomorphismus
ist, so ist
ein
Homöomorphismus.
???: Abbildungseigenschaften von Produktmannigfaltigkeiten
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und
ihr
Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
Projektionen
-
und
-
sind
differenzierbare Abbildungen.
- Der
Tangentialraum
in einem Punkt
ist
.
- Es sei
eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
-
genau dann differenzierbar, wenn die
Komponentenabbildungen
und
differenzierbar sind.
???: Transformationsformel für volldimensionale Dachprodukte
Es sei
ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
Vektoren in
, die miteinander in der Beziehung
-

stehen, wobei
eine
-
Matrix
bezeichnet.
Dann gilt in
die Beziehung
-

???: Universelle Eigenschaft des Dachprodukts
???: Alternierende Abbildungen und Dachprodukt
Es sei
ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
.
Dann gibt es eine
natürliche
Isomorphie
-
???: Basis für Dachprodukte
???: Dimension der äußeren Potenzen
???: Dachprodukt und Dualität
???: Dachprodukt zu linearer Abbildung
???: Eigenschaften des Dachprodukts einer linearen Abbildung
???: Orientierungen auf Vektorraum und Dachprodukt
???: Der Satz von Heine-Borel
???: Lokale Beschreibung von Differentialformen
???: Lokale Beschreibung von 1-Differentialformen
???: Lokale Beschreibung der zurückgezogenen Differentialform
Es seien
und
offene Teilmengen,
deren Koordinaten mit
bzw. mit
bezeichnet seien. Es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung
und es sei
eine
-
Differentialform
auf
mit der Darstellung
-

wobei
Funktionen
sind.
Dann besitzt die
zurückgezogene Form
die Darstellung
???: Lokale Beschreibung der zurückgezogenen Volumenform
Es seien
offene Teilmengen,
deren Koordinaten mit
bzw. mit
bezeichnet seien. Es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung
und es sei
eine
-
Differentialform
auf
mit der Darstellung
-

Dann besitzt die
zurückgezogene Form
die Darstellung
-

???: Wohldefiniertheit des Maßes zu einer positiven Volumenform
Es sei
eine
-
dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit
abzählbarer Basis der Topologie
und es sei
eine
positive Volumenform
auf
. Zu einer Karte
-
mit
und einer
messbaren Teilmenge
setzen wir
-

Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Wenn
zwei Kartenumgebungen sind, so ist
.
- Zu einer messbaren Teilmenge
gibt es eine
abzählbare disjunkte Vereinigung
derart, dass jedes
ganz in einer Karte
liegt.
- Die Summe
ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).
???: Volumenform auf abgeschlossener Untermannigfaltigkeit
Es sei
offen und sei
-
(mit
)
eine
stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der
Faser
über
regulär
sei.
Dann ist die Abbildung
-
in jedem Punkt
eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf
gegeben ist.
???: Berechnung des kanonischen Volumens
???: Berechnung der Volumenform bei einer Einbettung
???: Inhaltsberechnung für eingebettete Flächen
Es sei
eine
abgeschlossene Fläche
in einer
offenen Menge
,
die mit der induzierten riemannschen Struktur und der
kanonischen Flächenform
versehen sei. Es sei
offen und es sei
-
ein
Diffeomorphismus
mit der offenen Menge
.
Die Koordinaten von
seien
und
und wir setzen
-
Dann gilt auf
???: Flächeninhalt einer Rotationsfläche
Es sei
-
eine
differenzierbare Kurve
mit
, die einen
Diffeomorphismus
zu
induziere, wobei
eine eindimensionale
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
in einer offenen Menge
sei.
Dann ist die zugehörige
Rotationsfläche
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
ohne die
-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich
-
???: Eigenschaften der äußeren Ableitung auf Mannigfaltigkeiten
Es sei
eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit,
und es sei
-
die
äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die äußere Ableitung
-
ist die
Tangentialabbildung.
- Die äußere Ableitung ist
-
linear.
- Für
und
gilt die Produktregel
-

- Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform
ist
.
- Es sei
eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine
stetig differenzierbare Abbildung
-
und jedes
gilt für die
zurückgezogenen Differentialformen
-

???: Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit
???: Satz über die Orientierung der Randmannigfaltigkeit
Es sei
eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine
Orientierung trage.
Dann trägt auch die
Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder
Karte durch die
äußere Normale festgelegt ist.
???: Satz über die kompakte Ausschöpfung
Es sei
eine
Mannigfaltigkeit mit einer
abzählbaren Basis der Topologie.
Dann besitzt
eine
kompakte Ausschöpfung.
???: Satz über die Partition der Eins
Es sei
eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einer
abzählbaren Basis
der Topologie.
Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete
stetig differenzierbare
Partition der Eins.
???: Orientierbarkeit und positive Volumenform
Es sei
eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einer
abzählbaren Basis der Topologie.
Dann existiert genau dann eine
stetige
nullstellenfreie
Volumenform
auf
, wenn
orientierbar
ist.
Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.
???: Der Satz von Stokes (Quaderversion)
???: Der Satz von Stokes (Mannigfaltigkeit mit Rand)
???: Der Satz von Green für den Flächeninhalt
???: Retraktionen zum Rand
Es sei
eine
kompakte
orientierte
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
und mit
abzählbarer Basis der Topologie.
Dann gibt es keine
stetig differenzierbare Abbildung
-
deren
Einschränkung
auf
die Identität ist.
???: Der Brouwersche Fixpunktsatz
Es sei
-
eine
stetig differenzierbare Abbildung
der
abgeschlossenen Kugel
im
in sich.
Dann besitzt
einen
Fixpunkt.