Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Liste der Hauptsätze
Es sei eine Menge. Für ein Mengensystem auf sind äquivalent.
- ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
- ist eine -Algebra.
Es seien und zwei Messräume und es sei
eine Abbildung. Es sei ein Erzeugendensystem für .
Dann ist bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge mit das Urbild zu gehört.
Die Menge der Borel-Mengen im stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten - Algebra überein.
Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
Es seien und topologische Räume, die wir als Messräume mit den zugehörigen - Algebren der Borelmengen auffassen.
Dann ist jede stetige Abbildung
messbar.
Es sei eine Menge, ein Präring auf und ein Prämaß auf .
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist .
- Für Mengen mit gilt . Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
- Für Mengen gilt .
- Seien
, ,
und aus mit
Dann gilt
- Es sei eine
Ausschöpfung
in . Dann ist
wobei diese Folge monoton wachsend ist.
- Es sei eine
Schrumpfung
in und sei
vorausgesetzt. Dann ist
wobei diese Folge monoton fallend ist.
Es sei ein Messraum und es sei ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für . Es seien und zwei Maße auf , die auf übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung mit und mit
Dann ist
Es sei eine Menge, ein Präring auf und
ein äußeres Maß auf .
Dann ist die Fortsetzung des äußeren Maßes ein äußeres Maß auf der Potenzmenge , das auf mit übereinstimmt.
Es sei eine Menge, ein Präring auf ,
ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Mengensystem aller Teilmengen , die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine - Algebra.
- Die Einschränkung von auf diese -Algebra ist ein Maß.
Es sei eine Menge, ein Präring auf ,
ein Prämaß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge .
Dann besitzen alle Mengen aus die Zerlegungseigenschaft.
Es sei eine Menge, ein Präring auf ,
ein Prämaß auf und die Fortsetzung von auf die von erzeugte - Algebra .
Dann ist ein Maß auf .
Wenn - endlich ist, so ist die einzige Fortsetzung von zu einem Maß auf .
Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen.
Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.
Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die für eine endliche
disjunkte Vereinigung
von Quadern (wobei die Seiten endliches Maß haben) durch
mit definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.
- Es seien (insbesondere sei dies definiert). Dann ist die Zuordnung ein Prämaß auf dem Produkt-Präring.
Es seien - endliche Maßräume gegeben.
Dann gibt es genau ein (-endliches) Maß auf der Produkt-- Algebra , das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert
besitzt.
Es sei die - Algebra der Borel-Mengen auf .
Dann gibt es genau ein (- endliches) Maß auf , das für jedes halboffene Intervall den Wert besitzt.
Statt halboffene Intervalle kann man auch offene oder abgeschlossene Intervalle nehmen.
Der sei mit der - Algebra der Borel-Mengen versehen.
Dann gibt es auf genau ein (- endliches) Maß
das für alle Quader
den Wert
besitzt.
Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
Es sei ein translationsinvariantes Maß auf dem , das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ein echter Untervektorraum.
Dann ist .
Das Borel-Lebesgue-Maß
ist das einzige translationsinvariante Maß auf , das auf dem Einheitswürfel den Wert besitzt.
Es sei ein translationsinvariantes Maß auf , das auf dem Einheitswürfel ein endliches Maß habe.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl mit .
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann gilt für jede messbare Menge die Beziehung
Es sei ein euklidischer Vektorraum.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß auf den Borelmengen von , das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert zuweist.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, sei eine Basis von und sei das davon erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß auf
Es sei eine abzählbare Indexmenge und ein Messraum. Es sei
() eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen und messbar.
Es sei ein Messraum und sei
eine Folge von messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiere.
Dann ist auch messbar.
Es sei ein Messraum und sei
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen
die punktweise gegen konvergieren.
Es sei ein Messraum und
eine messbare Funktion.
Dann sind der Graph und der Subgraph messbare Teilmengen in .
Es sei ein - endlicher Maßraum und
eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- ist integrierbar.
- Der positive und der negative Teil von sind integrierbar.
- Die Betragsfunktion ist integrierbar.
- Es gibt eine integrierbare messbare Funktion
mit für alle .
Es sei ein - endlicher Maßraum und
eine messbare numerische Funktion.
Dann ist der Graph eine Nullmenge in .
Es sei ein - endlicher Maßraum und
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gilt für jedes die Abschätzung
Es sei ein - endlicher Maßraum, ein Messraum und
eine messbare Abbildung. Es sei das Bildmaß von unter , das ebenfalls als - endlich vorausgesetzt sei, und es sei
eine - integrierbare Funktion.
Dann ist auch - integrierbar, und es gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum und sei
eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion .
Dann gilt
Es sei
eine messbare Riemann-integrierbare Funktion.
Dann gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum. Es seien integrierbare messbare reellwertige Funktionen auf und .
Dann ist auch integrierbar, und es gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum und es sei
eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.
Dann gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum und es sei
eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion
mit für alle und alle .
Dann ist auch die Grenzfunktion integrierbar, und es gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum, ein metrischer Raum, und
eine Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.- Für alle ist die Funktion messbar.
- Für alle ist die Funktion stetig in .
- Es gibt eine
nichtnegative messbare integrierbare Funktion
mit
für alle und alle .
Dann ist die Funktion
wohldefiniert und stetig in .
Es sei ein - endlicher Maßraum, ein nichtleeres offenes Intervall und
eine Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.- Für alle ist die Funktion integrierbar.
- Für alle ist die Funktion (stetig) differenzierbar.
- Es gibt eine
nichtnegative
messbare integrierbare Funktion
mit
für alle und alle .
Dann ist die Funktion
(stetig) differenzierbar in , die Zuordnung ist integrierbar und es gilt die Formel
Es seien und - endliche Maßräume und sei eine messbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
messbar.
Es seien und - endliche Maßräume.
Dann gilt für alle messbaren Teilmengen die Beziehung
Es sei ein - endlicher Maßraum und
eine messbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
bijektiv und maßtreu.
Es sei
eine nichtnegative messbare Funktion und sei der Rotationskörper zum Subgraphen von um die -Achse.
Dann besitzt das Volumen
wobei für die zweite Formel als stetig vorausgesetzt sei.
Es sei messbar, ein Punkt und der zugehörige Kegel. Es sei die letzte Koordinate von .
Dann ist ebenfalls messbar, und es gilt
Es seien und - endliche Maßräume und sei
eine integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
und
fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt
Es seien und - endliche Maßräume und es seien und integrierbare Funktionen.
Dann ist auch die Funktion
integrierbar und es gilt
Es sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine Nullmenge.
Dann ist auch eine Nullmenge.
Es seien und offene Mengen im und es sei
ein -Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante für . Es sei eine messbare Menge.
Dann ist ebenfalls messbar und es gilt
Es seien und offene Mengen im und es sei
ein - Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante
für . Es sei
eine messbare Funktion.
Dann ist auf genau dann integrierbar, wenn die Hintereinanderschaltung auf integrierbar ist. In diesem Fall gilt
Es sei
die Polarkoordinatenauswertung und es seien und offene Mengen, auf denen einen Diffeomorphismus induziert. Es sei
eine integrierbare Funktion.
Dann ist
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem die Formel
Es ist
Es sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei die Faser über , und sei in jedem Punkt der Faser regulär.
Dann gibt es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , offene Mengen und , und einen - Diffeomorphismus
mit , der eine Bijektion zwischen und induziert, und so, dass das totale Differential für jedes eine Bijektion zwischen und stiftet.
Es sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei die Faser über einem Punkt . Das totale Differential sei surjektiv für jeden Punkt .
Dann ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension .
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
eine differenzierbare Abbildung. Es sei , und es sei
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn und offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential .
- Wenn
mit und und
mit und Karten sind, so ist das Diagramm
kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen bzw. gegeben sind.
- ist - linear.
- Wenn eine weitere
Mannigfaltigkeit,
und
eine weitere differenzierbare Abbildung mit ist, so gilt
- Wenn ein Diffeomorphismus ist, dann ist ein Isomorphismus.
- Für eine
differenzierbare Kurve
mit einem offenen Intervall , und gilt im Tangentialraum die Gleichheit
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension von .
Dann ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass die Inklusion eine differenzierbare Abbildung ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension .
Dann ist für jeden Punkt die Tangentialabbildung
injektiv.
D.h. der Tangentialraum ist ein Untervektorraum der Dimension von .
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
eine differenzierbare Abbildung. Es sei
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es gibt ein
kommutatives Diagramm
- Für eine Karte
zu offen und mit offen gibt es ein kommutatives Diagramm
- Wenn
und
offene Teilmengen
sind und die Tangentialbündel mit bzw. identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich
- Wenn eine weitere
Mannigfaltigkeit
und
eine weitere differenzierbare Abbildung ist, so gilt
- Die Tangentialabbildung ist stetig.
- Wenn ein Diffeomorphismus ist, so ist ein Homöomorphismus.
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
Projektionen
und
sind differenzierbare Abbildungen.
- Der Tangentialraum in einem Punkt ist .
- Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen und differenzierbar sind.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum der Dimension . Es seien und Vektoren in , die miteinander in der Beziehung
stehen, wobei eine - Matrix bezeichnet.
Dann gilt in die Beziehung
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und . Es sei
eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum .
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
kommutiert.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und .
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum der Dimension . Es sei eine Basis von und es sei .
Dann bilden die Dachprodukte
eine Basis von .
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum der Dimension .
Dann besitzt das -te äußere Produkt die Dimension
Es sei ein Körper und ein dimensionaler Vektorraum. Es sei .
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
mit
(mit und ).
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung.
Dann gibt es zu jedem eine -lineare Abbildung
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Zu sei
- Wenn surjektiv ist, dann ist auch surjektiv.
- Wenn injektiv ist, dann ist auch injektiv.
- Wenn ein weiterer -Vektorraum und
eine weitere -lineare Abbildung ist, so gilt
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension .
Dann entsprechen durch die Zuordnung
die Orientierungen auf den Orientierungen auf .
Es sei eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist überdeckungskompakt.
- Jede Folge in besitzt einen Häufungspunkt in .
- Jede Folge in besitzt eine in konvergente Teilfolge.
- ist abgeschlossen und beschränkt.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte
und offen. Es seien
die zugehörigen Koordinatenfunktionen, .
Dann lässt sich jede auf definierte -Differentialform eindeutig schreiben als
mit eindeutig bestimmten Funktionen
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte
und offen. Es seien
die zugehörigen Koordinatenfunktionen, . Es sei
eine differenzierbare Funktion.
Dann gilt für die zugehörige - Differentialform die Darstellung
Es seien und offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei
eine differenzierbare Abbildung und es sei eine - Differentialform auf mit der Darstellung
wobei Funktionen sind.
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
Es seien offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei
eine differenzierbare Abbildung und es sei eine - Differentialform auf mit der Darstellung
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei eine positive Volumenform auf . Zu einer Karte
mit und einer messbaren Teilmenge setzen wir
- Wenn zwei Kartenumgebungen sind, so ist .
- Zu einer messbaren Teilmenge gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung derart, dass jedes ganz in einer Karte liegt.
- Die Summe ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).
Es sei offen und sei
(mit ) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser über regulär sei.
Dann ist die Abbildung
in jedem Punkt eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf gegeben ist.
Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und die kanonische Volumenform. Es sei
eine orientierte Karte mit offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und .
Dann ist
Für eine messbare Teilmenge ist
Es sei offen und sei eine - dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform versehen sei. Es sei offen und es sei
ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge .
Dann ist eine Karte von , und auf gilt
Es sei eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge , die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform versehen sei. Es sei offen und es sei
ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge . Die Koordinaten von seien und und wir setzen
Dann gilt auf
Es sei
eine differenzierbare Kurve mit , die einen Diffeomorphismus zu induziere, wobei eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge sei.
Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ohne die -Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, und es sei
die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die äußere Ableitung
ist die Tangentialabbildung.
- Die äußere Ableitung ist - linear.
- Für
und
gilt die Produktregel
- Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ist .
- Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine
stetig differenzierbare Abbildung
und jedes gilt für die zurückgezogenen Differentialformen
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension .
Dann ist der Rand eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension .
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Orientierung trage.
Dann trägt auch die Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder Karte durch die äußere Normale festgelegt ist.
Es sei eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann besitzt eine kompakte Ausschöpfung.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann existiert genau dann eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf , wenn orientierbar ist.
Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.
Es sei ein achsenparalleler -dimensionaler Quader (mit Seiten aber ohne Kanten) mit dem Rand und eine auf definierte stetig-differenzierbare - Differentialform.
Dann ist
Es sei eine - dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei eine stetig differenzierbare - Differentialform mit kompaktem Träger auf .
Dann ist
Es sei eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand .
Dann ist der Flächeninhalt von gleich
Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie.
Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung
deren Einschränkung auf die Identität ist.
Es sei
eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im in sich.
Dann besitzt einen Fixpunkt.