Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei einer \definitionsverweis {Folge}{}{} die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die \definitionsverweis {Konvergenz}{}{} noch den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} ändert, und dass bei \definitionsverweis {Reihen}{}{} die Änderung von endlich vielen Reihengliedern zwar die Konvergenz nicht ändert, wohl aber die Summe.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty \frac{1}{2k+1} \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty \frac{1}{2k+2}} { }
\definitionsverweis {divergieren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
\definitionsverweis {konvergente Reihen}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} mit den Summen \mathkor {} {s} {und} {t} {.} Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} mit
\mathl{c_k=a_k+b_k}{} ist ebenfalls konvergent mit der Summe
\mathl{s+t}{.} } {Für
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} ist auch die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty d_{ k }}{} mit
\mathl{d_k = \lambda a_k}{} konvergent mit der Summe $\lambda s$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In einer Studenten-WG bereitet Studi 1 Kaffee zu, und füllt die Menge $x_1$ Kaffee in den Kaffeefilter. Dies sieht entsetzt Studi 2 und sagt: \anfuehrung{Willst Du, dass wir alle schon total wach werden?}{} und nimmt die Kaffeemenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_2 }
{ < }{ x_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wieder aus dem Filter heraus. Danach kommt Studi 3 und sagt: \anfuehrung{Bin ich hier in einer Weicheier-WG gelandet?}{} und kippt wieder eine Kaffeemenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_3 }
{ < }{ x_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} dazu. So geht es unendlich weiter, wobei sich Kaffeeherausnehmer und Kaffeenachfüller abwechseln. Wie kann man charakterisieren, ob die Kaffeemenge im Filter \definitionsverweis {konvergiert}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Nachdem der Kaffee am Vortag für die Befürworter eines starken Kaffees zu schwach geworden ist, entwickeln sie eine neue Strategie: Sie wollen etwas früher aufstehen, sodass am Tagesanfang und zwischen je zwei Kaffeereduzierern immer zwei Kaffeeauffüller zum Zuge kommen. Dabei bleibt die interne Reihenfolge der beiden Lager als auch die hinzuzufügende bzw. wegzunehmende Kaffeemenge einer Person unverändert. Können sie mit dieser Strategie den Kaffee stärker machen, beispielsweise bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $z$ eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beweise für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch Induktion die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^n z^k }
{ =} { { \frac{ z^{n+1} -1 }{ z-1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} sitzen in der Kneipe. $A$ will nach Hause gehen, aber $B$ will noch ein Bier trinken. \anfuehrung{Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte}{} sagt $A$. Danach möchte $B$ immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel \anfuehrung{allerletztes Bier}{} trinken sie insgesamt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^k } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ \sin n }{ n^2 } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Untersuche, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
konvergiert oder divergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es für jedes
\mathl{\epsilon >0}{} eine Familie
\mathbed {\epsilon_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} von positiven reellen Zahlen mit
\mathl{\sum_{n=0}^\infty \epsilon_n \leq \epsilon}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise das folgende \stichwort {Minorantenkriterium} {.}

\faktsituation {Es seien $\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }$ und $\sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }$ zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} von \definitionsverweis {nichtnegativen}{}{} \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }}{} sei \definitionsverweis {divergent}{}{} und es gelte
\mathl{a_k \geq b_k}{} für alle
\mathl{k \in \N}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} divergent.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ \sqrt{k} }} { }
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} eine \definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{} mit
\mathl{a_k \in \R_{\geq 0}}{.} Zeige, dass die durch
\mathdisp {y_n := \sum_{k \geq n/2 }^{n} a_k} { }
definierte \definitionsverweis {Folge}{}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe befasst sich mit der $g$-\stichwort {adischen Entwicklung} {} von reellen Zahlen, vergleiche Aufgabe 9.19.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {g \in \N} {,}
{g \geq 2} {}
{} {} {} {.} Es sei eine Ziffernfolge
\mathdisp {z_i \in \{0,1 , \ldots , g-1\} \text{ für } i \in \Z, \, i \leq k} { , }
\zusatzklammer {wobei $k \in \N$ ist} {} {} gegeben und es sei
\mathdisp {r= \sum_{i=k}^{- \infty} z_i g^{i}} { }
die durch diese Ziffernfolge definierte \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die Ziffernfolge genau dann ab einer gewissen Stelle \stichwort {periodisch} {} ist, wenn $r$ eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $z \in {\mathbb C},\, \betrag { z } <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ak+b}} { }
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathbed {g \in \N} {,}
{g \geq 2} {}
{} {} {} {.} Eine \stichwort {Ziffernfolge} {,} die durch
\mathdisp {z_i \in \{0,1 , \ldots , g-1\} \text{ für } i \in \Z, \, i \leq k} { , }
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist} {} {} gegeben ist, definiert eine \definitionsverweis {reelle Reihe}{}{\zusatzfussnote {Hier läuft also der Index in die umgekehrte Richtung} {.} {}}
\mathdisp {\sum_{i=k}^{- \infty} z_i g^{i}} { . }
Zeige, dass eine solche Reihe gegen eine eindeutig bestimmte nichtnegative \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {B-bronze.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 龜-bronze.svg } {} {} {Commons} {} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte \zusatzklammer {mit der Kriechgeschwindigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} hat einen Vorsprung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegenüber dem schnelleren Achilles \zusatzklammer {mit der Geschwindigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ > }{ v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dem Startpunkt $0$} {} {.} Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_0 }
{ = }{ s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 }
{ > }{ s_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn Achilles an der Stelle $s_1$ ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_2 }
{ > }{ s_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} u.s.w.

Berechne die Folgenglieder $s_n$, die zugehörigen Zeitpunkte $t_n$, sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.

}
{} {}