Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex

\setcounter{section}{48}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} genau dann \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist, wenn es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle }
{ =} { \left\langle v_j , v_i \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{ i,j }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} auf $V$ mit der Eigenschaft
\mathl{\left\langle u_i , u_i \right\rangle >0}{} für alle
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} ist, deren Diagonaleinträge
\mathl{1,-1}{} oder $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Bilinearform ist \definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} der Bilinearform bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{} ist \definitionsverweis {invertierbar}{}{.} }{Die Bilinearform ist vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,n-p)}{} \zusatzklammer {mit einem
\mathl{p \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}} {} {} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-q,q)}{} auf einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ und es sei $G$ die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von
\mathl{\det G}{} gleich
\mathl{(-1)^q}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{,} das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Ein\-schränkung der Form \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, nicht eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der durch die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} von $f$ in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{} \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $V$,
\mathl{P \in G \cap U}{} und es sei \maabbdisp {\tilde{f}} {G \cap U} {\R } {} die Einschränkung von $f$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{Hess}_{ P } \, f \right) } {{|}}_U }
{ =} { \operatorname{Hess}_{ P } \, \tilde{f} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen
\mathl{p,q,n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p+q }
{ \leq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {,} deren \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} im Nullpunkt den \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^3-xy+y^2 } {,} in jedem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-xy^2+x^2-y^3 } {,} in jedem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} eine $k$-fach \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
\mathl{P \in \R^n}{} ein Punkt und
\mathl{v \in \R^n}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(t) }
{ \defeq} { f(P+tv) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $h$ $k$-fach stetig differenzierbar ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h^{(k)}(0) }
{ =} {D_v \cdots D_vf (P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit $k$ Richtungsableitungen} {} {} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$ mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$ und einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, aber
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} nicht \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^3$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 5 \end{pmatrix}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2\times\R_+} {\R } {(x,y,z)} {xy^3-x^2 \ln z } {,} im Punkt
\mathl{(0,2,3)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mathl{P \in \R^n}{} ein \definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{.} Die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} in $P$ besitze sowohl positive als auch negative \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{.} Zeige, dass $f$ in $P$ kein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} für die Funktion \maabbeledisp {f} {D} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2+xy } {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subset }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das durch die Eckpunkte $(0,0),\, (1,0)$ und $(0,1)$ gegebene \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{} \zusatzklammer {volle} {} {} Dreieck ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hesse-Matrizen}{}{} zu den \definitionsverweis {kritischen Punkten}{}{} zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Beispiel 46.9.

}
{} {}