Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 47
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum die gleiche Dimension wie besitzt.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Basis . Es sei
der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch
definiert sind, eine Basis von bilden.
Betrachte die Linearform
- Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.
Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.
Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei
eine Linearform und der zugehörige Gradient im Sinne von Fakt *****. Zeige, dass der Gradient zur Einschränkung die orthogonale Projektion von auf ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung
keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und
eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und
eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Es seien und Mengen und ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion
Seien und Mengen und seien
Abbildungen. Zu einem Punkt sei die Faser von über . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung über gleich ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne den Anstieg der Funktion
im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?
Aufgabe (5 Punkte)
Betrachte die Funktion
- Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .
- Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Aufgabe (5 Punkte)
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