Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 46

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine total differenzierbare Abbildung mit ${}\left(D\varphi \right)_{P}=0$ für alle ${}P\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(xy-2y^{3}+5,\,x^{3}-xy^{2}+y\right),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(4,-3)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy-zy+2z^{2},\sin(x^{2}yz)),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,-1,\pi )$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(2,0,5)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},xy,\exp x),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(3,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(-1,-7)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

Bestimme das totale Differential der Determinante

$\det \colon \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,$

für ${}n=2,3$ an der Einheitsmatrix.

Aufgabe *

Bestätige die Kettenregel für ${}g\circ f$ für die beiden differenzierbaren Abbildungen

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{3}-t,-t^{2}),$

und

$g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy+x+y.$

Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v^{2},u+\sin v,v^{3}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-z^{2},xy^{2}+yz\exp x),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ in folgenden Schritten.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {K} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{m}$ und ${}D\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ in ${}P\in G$ und ${}g$ in ${}f(P)\in D$ total differenzierbar ist. Zeige

${}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)=\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{1}}}(f(P)),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{n}}}(f(P))\right){\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{r}}}(f(P))\cdot {\frac {\partial f_{r}}{\partial x_{i}}}(P)\,.$

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{m}$ und ${}D\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ und ${}g$ ${}\ell$-fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch ${}g\circ f$ ${}\ell$-fach stetig differenzierbar ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xf(y),$

genau dann im Punkt ${}(0,0)$ total differenzierbar ist, wenn ${}f$ in ${}0$ stetig ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann stetig differenzierbar ist, wenn ${}\varphi$ total differenzierbar ist und wenn die Abbildung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(V,W),\,P\longmapsto \left(D\varphi \right)_{P},$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbar im Nullpunkt und sei ${}{(h_{m})}_{m\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ mit

$\lim _{m\to \infty }h_{m}=0,\lim _{m\to \infty }{\frac {h_{m}}{\Vert {h_{m}}\Vert }}=v\in \mathbb {R} ^{n},f(h_{m})=f(h_{k}){\text{ für alle }}m,k\in \mathbb {N} .$

Zeige, dass ${}v$ ein Eigenvektor von ${}\left(Df\right)_{0}$ zum Eigenwert ${}0$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x,y):={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}\,$

a) Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu ${}f$ im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung. Es sei

${}\varphi (P)=Q\,$

und es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}Q\in M$ ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

$f\circ \varphi$

in ${}P$ ein lokales Extremum besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (uv,u-v,v^{2}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},y\exp(xz)),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ veranschaulichen.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {K} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

$\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{3}{\stackrel {g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}$

mit

$f(u,v)=(u^{2},uv,u-v^{2}),$

$g(x,y,z)=(x+y^{2}-z,x^{2}yz),$

und

$h(r,s)=(r^{2}s,s^{2}).$

Berechne das totale Differential von ${}h\circ g\circ f$ in einem beliebigen Punkt ${}P=(u,v)$ auf vier verschiedene Arten.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\text{ bei }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ bei }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}$

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art ${}P\mapsto P+v$ mit einem festen Vektor ${}v\in V$, wenn

${}\left(D\varphi \right)_{P}=\operatorname {Id} _{V}\,$

für alle ${}P\in V$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\setminus \{0\}$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \Vert {f(P)}\Vert ,$

differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.

Aufgabe (10 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

und eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung

$f\circ \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

nicht differenzierbar ist.