Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 51/latex

\setcounter{section}{51}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2 } {(x,y)} {(x+y,xy) } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} mit einer \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $\psi$ derart, dass $\psi$ nicht differenzierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} das zeigt, dass im Satz über die \zusatzklammer {lokale} {} {} Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2} {\R \times \R_+ } {(x,y)} {(x, e^{x+y}) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Man gebe explizit eine \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x,y+f(x)) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

}
{} {} Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn $f$ differenzierbar ist?

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{.} Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^n} {\R^n } {(x_1 , \ldots , x_n)} { (f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n)) } {,}Zeige: \aufzaehlungdrei{Die Abbildung $f$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{Das totale Differential von $f$ in $0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen $f_i, \, i =1 , \ldots , n$, die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} in $0$ nicht $0$ sind. }{$f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von $0$ bijektiv, wenn die einzelnen $f_i$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} {( \sin xy ,yz \cos \left( x^2 \right) ,e^{xyz}) } {.} Zeige, dass $\varphi$ im Punkt
\mathl{P=(1, \pi,1)}{} \definitionsverweis {lokal umkehrbar}{}{} ist, und bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} im Punkt
\mathl{Q=\varphi(P)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {P= a+bX+cY+ \ldots} {und} {Q= d+eX+fY+ \ldots} {} Polynome in zwei Variablen und \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {( P(x,y),Q(x,y)) } {,} die zugehörige Abbildung. Wann besitzt $\varphi$ in
\mathl{\varphi(0,0)}{} lokal eine Umkehrabbildung? Wie sieht in diesem Fall das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt
\mathl{\varphi(0,0)}{} aus?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { \R} {\R } {} eine nullstellenfreie \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und sei $g$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} zu $f$. Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y) }
{ =} { \left( { \frac{ x }{ f(y) } } , \, g(y) \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} zu $\varphi$.

b) Zeige, dass man auf $\varphi$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} { \R^n } {} eine \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl
\mathl{c \in [0,1[}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \left(D\varphi\right)_{P} } \Vert }
{ \leq} { c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{P \in \R^n}{.} Zeige, dass $\varphi$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

}
{} {}

Im Beweis des Umkehrsatzes wurde mit folgender Definition gearbeitet.

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi} \Vert }
{ \defeq} { {\operatorname{sup} \, ( \Vert { \varphi(v)} \Vert , \Vert {v} \Vert = 1 ) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {Norm}{} von $\varphi$.

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, warum die \definitionsverweis {Norm}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} wohldefiniert ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es einen Vektor
\mathbed {v \in V} {}
{\Vert {v} \Vert =1} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v) } \Vert }
{ =} { \Vert {\varphi} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungvier{Es ist $\Vert {\varphi(v)} \Vert \leq \Vert {\varphi} \Vert \cdot \Vert {v} \Vert$. }{Es ist $\Vert {\varphi} \Vert = 0$ genau dann, wenn $\varphi=0$ ist. }{Es ist $\Vert {c \varphi } \Vert = \betrag { c } \cdot \Vert {\varphi} \Vert$. }{Es ist $\Vert {\varphi_1 + \varphi_2 } \Vert \leq \Vert {\varphi_1} \Vert + \Vert {\varphi_2} \Vert$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei $\lambda \in \R$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$. Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \lambda } }
{ \leq} { \Vert {\varphi} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} derart, dass eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} von $\varphi$ existiert. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi} \Vert }
{ =} { {\max { \left( \betrag { \lambda } , \lambda \text{ ist Eigenwert von } \varphi \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^n} {\R } { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } { \sum_{i = 1}^n a_i x_i } {,} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} $\neq 0$. Bestimme einen Vektor $v \in \R^n$ auf der \definitionsverweis {abgeschlossenen Kugel}{}{} mit Mittelpunkt $0$ und Radius $1$, an dem die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { B \left( 0,1 \right) } {\R } {v} { \betrag { \varphi(v) } } {,} ihr \definitionsverweis {Maximum}{}{} annimmt. Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} von $\varphi$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Lemma 51.2 ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.

}
{} {(Tipp: Man denke daran, wie man flach auf einen steilen Berg kommt.)}

\inputaufgabe
{2}
{

Seien \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} in \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{,} die in einem Punkt
\mathl{P \in U_1}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} sei derart, dass die Umkehrabbildung in
\mathl{Q=\varphi(P)}{} auch differenzierbar ist. Zeige, dass das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} bijektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
\mathl{G \subseteq V_1}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {V_2 } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{U \subseteq G}{} eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt
\mathl{P \in U}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Zeige, dass dann das \definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} offen in $V_2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {.}

}
{} {}