- Übungsaufgaben
Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.
Untersuche die Addition
-
und die Multiplikation
-
auf
kritische Punkte
und auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Bestimme die
kritischen Punkte
der Funktion
-
und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein
lokales Extremum
vorliegt.
Wir betrachten die Abbildung
-
(es ist also ).
a) Berechne die
partiellen Ableitungen
von und stelle den
Gradienten
zu auf.
b) Bestimme die
isolierten
lokalen Extrema
von .
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
kritische Punkte
und
Extrema.
Es sei
-
eine
stetig differenzierbare Funktion
mit
-
für alle .
a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.
c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der
abgeschlossenen Kreisscheibe
definierten Funktion
-
Bestimme für die
Funktion
-
den maximalen Definitionsbereich und untersuche die Funktion auf
Extrema.
Wir betrachten die Funktion
-
Für welches
besitzt die zugehörige zweistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Wir betrachten die Funktion
-
Für welche
, ,
besitzt die zugehörige dreistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion
zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
- Aufgaben zum Abgeben
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Es sei . Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Wir betrachten die Funktion
-
Für welche
, ,
besitzt die zugehörige dreistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion
zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Sei
-
eine
Funktion und betrachte
-
Zeige, dass allenfalls im Nullpunkt ein
isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.