Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex

\setcounter{section}{56}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $L$ und $M$ \definitionsverweis {metrische Räume}{}{.} Zeige, dass die Menge $C$ der \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{} von $L$ nach $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f,g) }
{ \defeq} { {\min { \left( {\operatorname{sup} \, ( d(f(x), g(x)) ,x \in L ) } , 1 \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu einem metrischen Raum wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $L$ und $M$ \definitionsverweis {metrische Räume}{}{,} wobei $M$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} sei. Zeige, dass die Menge $C$ der stetigen Abbildungen von $L$ nach $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f,g) }
{ \defeq} { {\min { \left( {\operatorname{sup} \, ( d(f(x), g(x)) ,x \in L ) } , 1 \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu einem vollständigen metrischen Raum wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ \geq} {1 }
{ \geq} {a }
{ >} {0 }
{ } { }
} {}{}{} fixiert und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f: [a,b] \rightarrow [a,b] \mid f \text{ stetig} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {H} {M} {M } {f} {H(f) = \sqrt{f} } {,} wohldefiniert ist.

b) Es sei nun zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{ { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung $H$ aus a) eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} ist \zusatzklammer {wobei $M$ mit der Maximumsnorm versehen sei} {} {.}

c) Zeige, dass $M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von $H$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I \times U} {V } {} ein \definitionsverweis {stetiges}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,} das auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraums}{}{} definiert sei und \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genüge. Es sei
\mathl{W \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} mit der Eigenschaft, dass für alle
\mathl{t \in I}{} und
\mathl{P \in U \cap W}{} die Beziehung
\mathl{f(t,P) \in W}{} gilt. Zeige, dass eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0)=w \in U \cap W} { }
ganz in $W$ verläuft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime} = y+1 \text{ mit } y(0)=0} { . }
mit der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in Beispiel 56.5 eine explizite Formel für die Iterationen $\varphi_n$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die ersten drei Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y^2+t+yt^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mathl{y(0)=0}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=2} {und} {y(0)=-7} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -t & t^2 \\ 2 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=-1} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wogegen konvergiert die Picard-Lindelöf-Itertion in der Situation von Bemerkung 56.6, wenn $w$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $M$ ist?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die nicht-\definitionsverweis {regulären}{}{} Punkte des Vektorfeldes \maabbeledisp {f_t} {\R^2} {\R^2 } {(u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(1)= (3,2,6)} { }
zum \definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^3} {\R^3 } {(t,x,y,z)} { t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2 e^t )(0,4,5)+(2,2,2) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=4} {und} {y(0)=5} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t^2 & -1 \\ t & t^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=1} {.}

}
{} {}