Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 86/latex

\setcounter{section}{86}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { (x^2-y^3)dx+x^3y^2dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { xy^2dx+yzdy+x^3dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} $d \omega$ der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \frac{ x^2 }{ y } } dx- { \frac{ x }{ y^2 } } dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y \neq 0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die äußere Ableitung $d \omega$ der Differentialform
\mathdisp {\omega = e^{xz} dx \wedge dy - xyz dx \wedge dz +( \sin ( \cos (xy) ) +y^{10}z^{100} ) dy \wedge dz} { }
auf dem
\mathl{\R^3}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t) }
{ =} { { \frac{ \sin^{ 3 } (t^4) }{ 1+t^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von $f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von $fdt$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xdx \wedge dy+xy^2zdy \wedge dz+xe^ydx\wedge dz} { }
auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ (2x- \sin y )dx-x\cos ydy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem $\R^2$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{} und auch \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf einer Mannigfaltigkeit $M$ und \maabb {\varphi} {L} {M } {} eine auf der Mannigfaltigkeit $L$ definierte differenzierbare Abbildung.

\aufzaehlungzwei {Es sei $\omega$ \definitionsverweis {exakt}{}{.} Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform $\varphi^*\omega$ exakt ist. } {Es sei $\omega$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {zurückgezogene}{}{} Differentialform $\varphi^*\omega$ geschlossen ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und $\omega$ eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} $1$-\definitionsverweis {Form}{}{} auf $U$ mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} $F$ auf $U$. Zeige, dass $\omega$ genau dann \definitionsverweis {geschlossen}{}{} ist, wenn $F$ die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und $\omega$ eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} $1$-\definitionsverweis {Form}{}{} auf $U$ mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} $F$ auf $U$. Zeige, dass $\omega$ genau dann \definitionsverweis {exakt}{}{} ist, wenn $F$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.

}
{} {}

Für die folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 58.7 und Beispiel 58.10.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {-ydx+xdy} { }
auf dem $\R^2$ nicht \definitionsverweis {geschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {- { \frac{ y }{ x^2+y^2 } } dx+ { \frac{ x }{ x^2+y^2 } } dy} { }
auf dem $\R^2 \setminus \{0\}$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass jede stetige $n$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} $\omega$ auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und $\omega$ eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} $1$-\definitionsverweis {Form}{}{} auf $M$. Zeige, dass $\omega$ genau dann \definitionsverweis {exakt}{}{} ist, wenn für jeden \definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{} Weg \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {M } {} das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma \omega}{} nur von
\mathl{\gamma(a)}{} und
\mathl{\gamma(b)}{} abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M$ und $N$ \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} $n$-\definitionsverweis {Form}{}{} auf $N$, wobei $n$ die Dimension von $N$ sei. Zeige, dass $\varphi^* \omega$ eine \definitionsverweis {geschlossene}{}{} \definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche der folgenden Funktionen \maabbdisp {} {\R_+} {\R } {} lassen sich \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} in den \definitionsverweis {Randpunkt}{}{} $0$ fortsetzen. \aufzaehlungsechs{
\mathl{x^3+ \sin^{ 3 } x -e^{-x}}{,} }{
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x } }}{,} }{
\mathl{\sin { \frac{ 1 }{ x } }}{,} }{
\mathl{x \sin { \frac{ 1 }{ x } }}{,} }{
\mathl{{ \frac{ e^{ { \frac{ 1 }{ x } } } }{ x } }}{,} }{
\mathl{x^2 \sin { \frac{ 1 }{ x } }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{H \subset \R^n}{} ein \definitionsverweis {Halbraum}{}{.} Es sei
\mathl{Q\in H}{} ein Punkt und $Q \in U \subseteq H$, wobei $U$ eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} des $\R^n$ sei. Zeige, dass $Q$ kein Randpunkt von $H$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere die Begriffe \stichwort {Diffeomorphismus} {,} \stichwort {totales Differential} {} und \stichwort {höhere Ableitungen} {} für \definitionsverweis {Halbräume}{}{} \zusatzklammer {bzw. offene Teilmengen davon} {} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xy^2z^3dx+xyzdy+x^3yz^4dz} { }
auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xy^2dx \wedge dy+(x^3-y^2z^4)dy \wedge dz+ \sin (xy) dx \wedge dz} { }
auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und es seien
\mathl{\omega_1 , \ldots , \omega_r}{} Differentialformen auf $U$, wobei $\omega_i$ eine $k_i$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} sei. Finde und beweise eine Formel für
\mathdisp {d( \omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_r)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \left( 2xy+3x^2-y e^{xy} \right) } dx + { \left( x^2-xe^{xy} +8y \right) } dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^2$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{} und auch \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Halbebene}{}{} $\R_{\geq 0} \times \R$ und der \definitionsverweis {Quadrant}{}{}
\mathl{\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}}{} \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}