Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Ihre Fußballmannschaft hat das vorletzte Spiel mit
\mathl{5:1}{} und das letzte Spiel mit
\mathl{10:5}{} gewonnen. Welchen Sieg finden Sie überzeugender?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe fünf \definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{} an, die \zusatzklammer {echt} {} {} zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 8 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 8 } }} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Q$ mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } }
}
{ \geq }{ { \frac{ c }{ d } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bei \mathlk{b,d \in \N_+}{}} {} {,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad
}
{ \geq }{cb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $\Z$ gilt, definierten Beziehung ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
ist
\zusatzklammer {dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf $\Z$ verwendet werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.
Wer fährt schneller?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x \in K$. Zeige, dass
\mathl{x > 0}{} genau dann gilt, wenn $-x < 0$ ist.
}
{(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für jedes $x \in K$ die Beziehung $x^2=xx \geq 0$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-a
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a-b
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-a
}
{ \leq }{-b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a +c
}
{ \geq }{b+d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} } {\itemfuenf {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \geq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \leq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{d
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \geq }{bd
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ positiv ist.
}
{Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für das inverse Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ y
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {inversen Elemente}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}
}
{ < }{ y^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x,y \geq 0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq }{y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien $x, y$ positive Elemente. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ y } }
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
äquivalent ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente aus $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a-b } } + { \frac{ 1 }{ a+b } }
}
{ \geq} { { \frac{ 2 }{ a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mathbed {b \in K} {}
{b> 1} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass es dann Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{cd
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit \anfuehrung{unserer}{} Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art \anfuehrung{Ordnung}{} auf den rationalen Zahlen, die sie mit $\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen $\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \succeq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede rationale Zahl $x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die $0$ als heilig verehren.
Zeige, dass $\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungvier{Für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succ }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \succ }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succeq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \succeq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succeq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt
\mathl{(\Q, \succeq)}{} nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der in Aufgabe 3.28 konstruierte \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ nicht \definitionsverweis {angeordnet}{}{} werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ \geq} {n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise durch Induktion, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^n
}
{ \geq} { n^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für $n \geq 4$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ \leq} {n !
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { d+n } { n }
}
{ \geq} { { \left( { \frac{ d }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2n^n
}
{ \leq} {(n+1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n!
}
{ \leq} { { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien $x<y$ Elemente in $K$. Zeige, dass für das
\definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{}
$\frac{x+y}{2}$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} {\frac{x+y}{2}
}
{ <} {y
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,}
es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1,x_2 , \ldots , x_n
}
{ \in }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und nichtnegative Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_1,t_2 , \ldots , t_n
}
{ \in }{ K_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i=1}^n t_i
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i=1}^n t_i x_i
}
{ \in} { [a,b]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Intervalle}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 4x-3 }
}
{ <} { \betrag { 2x-3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ x-2 }{ 3x-1 } } }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass in $K$ die \zusatzklammer {positiven} {} {} Elemente \mathkor {} {8^{1/2}} {und} {25^{1/3}} {} existieren. Welches ist größer?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {K \times K} {K } {(x,y)} { \operatorname{min} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die folgenden Eigenschaften für die
\definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {K} {K
} {x} { \betrag { x }
} {,}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$} {} {.}
\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{\betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ = }{ \betrag { x-y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { xy }
}
{ = }{ \betrag { x } \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} }
}
{ = }{ \betrag { x }^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \leq }{ \betrag { x } + \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Unter welchen Bedingungen gilt für
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
\mathl{a_1,a_2 , \ldots , a_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n a_i }
}
{ =} { \sum_{i=1}^n \betrag { a_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Im Wald lebt ein Riese, der $8$ Meter und $37$ cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von $3$ cm haben und mit dem Kopf insgesamt $4$ cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind $1,23$ Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander \zusatzklammer {auf den Schultern} {} {} stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein kleines Sandkorn hat ein Gewicht von
\mathl{{ \frac{ 13 }{ 2757 } }}{} Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die
\mathl{5906}{} und eine halbe Tonne wiegt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, dass die halboffenen Intervalle
\mathdisp {{[n,n+1[} ={ \left\{ x \in K \mid x \geq n \text{ und } x < n+1 \right\} }, \, n \in \Z} { , }
eine disjunkte Überdeckung von $K$ bilden.
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ K_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung
\maabbeledisp {} {\Z} { K
} {n} { b^n
} {,}
die
\zusatzklammer {ganzzahlige} {} {}
\definitionswort {Exponentialfunktion}{}
zur Basis $b$.
Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion wird später wesentlich erweitert, siehe insbesondere
Lemma 14.8
und
Lemma 14.11.
Eine wesentliche Verschärfung von
Lemma 4.17
ist die Aussage, dass sich eine jede Exponentialfunktion im Wachstumsverhalten gegen jede Potenzfunktion durchsetzt. D.h. dass zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem archimedisch angeordneten Körper und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $n$ hinreichend groß die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^n
}
{ \geq }{ n^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Satz über die Wachstumsdominanz der \zusatzklammer {ganzzahligen} {} {} Exponentialfunktion gegenüber Potenzfunktionen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
bei dem eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.
\aufzaehlungdrei{Für $x \in K$ ist entweder $x \in P$ oder $-x \in P$ oder $x=0$.
}{Aus $x,y \in P$ folgt $x+y \in P$.
}{Aus $x,y \in P$ folgt $x \cdot y \in P$.
}
Zeige, dass durch die Festlegung
\mathdisp {x \geq y \text{ genau dann, wenn } x=y \text{ oder } x-y \in P} { }
ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
entsteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+3)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Betrachte die in Aufgabe 3.6 konstruierte Zuordnung \maabb {} {\Z} {K } {.}
a) Zeige, dass diese Zuordnung \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung
\maabb {} {\Q} {K
} {}
fortsetzen kann, und zwar derart, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
in $\Q$ mit den Verknüpfungen in $K$ übereinstimmen und die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
auf $\Q$ mit der Ordnung auf $K$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (2+4+1+1)}
{
Betrachte die Menge
\mathdisp {K={ \left\{ p+q \sqrt{5} \mid p,q \in \Q \right\} }} { , }
wobei $\sqrt{5}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.
a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{5}^2
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und dass $K$ zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
wird.
b) Definiere eine
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
derart, dass $K$ zu einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
wird und dass $\sqrt{5}$ positiv wird.
c) Fasse die Elemente von $K$ als Punkte im $\Q^2$ auf. Skizziere eine Trennlinie im $\Q^2$, die die positiven von den negativen Elementen in $K$ trennt.
d) Ist das Element $23-11 \sqrt{5}$ positiv oder negativ?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die
Bernoullische Ungleichung
zum Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n x_i }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}