Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 41/latex
\setcounter{section}{41}
Es ist im Allgemeinen schwierig, eine Differentialgleichung explizit zu lösen. Wir besprechen daher zwei approximierende Verfahren, nämlich das \stichwort {eulersche Polygonzugverfahren} {} und den \stichwort {Potenzreihenansatz} {.}
\zwischenueberschrift{Das Polygonzugverfahren}
Mit dem
\zusatzklammer {eulerschen} {} {}
Polygonzugverfahren wird die Lösungskurve einer Differentialgleichung diskret approximiert.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Euler method.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Euler method.png } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\inputverfahren{}
{
Es sei ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbdisp {F} {G} {\R^d
} {}
auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \R \times \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{P
}
{ \in }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Das \stichwort {eulersche Polygonzugverfahren} {} funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und berechnet rekursiv die Punktfolge
\mathbed {P_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0
}
{ = }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_{n+1}
}
{ =} { P_n + s F(t_0+ns, P_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu einem schon konstruierten Punkt $P_n$ wird also das $s$-fache des Richtungsvektors zum Zeitpunkt
\mathl{t_0+ns}{} an diesem Punkt hinzuaddiert. Dies funktioniert nur, solange die Punkte im Definitionsbereich des Vektorfeldes liegen. Der zu dieser Punktfolge gehörende \stichwort {Streckenzug} {} oder
\stichwort {Polygonzug} {}
\maabbdisp {\delta} {\R_{\geq t_0}} {\R^d
} {}
ist die lineare Interpolation mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta (t_0+ns)
}
{ = }{P_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. für $t$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0+ ns
}
{ \leq }{ t
}
{ \leq }{ t_0+(n+1)s
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(t)
}
{ =} { P_n+ { \frac{ t- t_0-ns }{ s } } { \left( P_{n+1}-P_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Streckenzug $\delta$ stellt eine
\definitionsverweis {stückweise lineare}{}{}
Approximation der Lösungskurve des Anfangswertproblems dar. Für eine kleinere Schrittweite wird die Approximation im Allgemeinen besser.
}
\inputbeispiel{}
{
Bei einer eindimensionalen
\definitionsverweis {ortsunabhängigen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich $y$ einfach als eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $g$. Wendet man in dieser Situation
Verfahren 41.1
zum Startzeitpunkt $t_0$, zum Startpunkt $c$ und zur Schrittweite $s$ an, so ergibt sich die rekursive Beziehung
\mathdisp {P_0= c \text{ und } P_{n+1} = P_n +s g(t_0 + ns)} { . }
Daher ist offenbar
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ P_n
}
{ =} { c + s { \left( g(t_0) + g(t_0 + s) + g(t_0 + 2s) + \cdots + g(t_0 + (n-1)s) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h. dass man zu dem Ausgangswert $c$ das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
zur äquidistanten Unterteilung
\mathl{t_0,t_0+s,t_0+2s , \ldots , t_0+ (n-1)s}{}
\zusatzklammer {und zur durch \mathlk{g(t_0+ks)}{} auf dem Teilintervall
\mathl{[t_0+ks, t_0+(k+1)s[}{} gegebenen Treppenfunktion} {} {}
hinzuaddiert. Der zugehörige Streckenzug ist die
\zusatzklammer {stückweise lineare} {} {}
Integralfunktion zu dieser Treppenfunktion.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen für das
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} x^2-ty \\txy \end{pmatrix}
}
{ =} { F(t,x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gemäß
Verfahren 41.1
einen approximierenden Streckenzug berechnen. Wir wählen die Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_1
}
{ =} { P_0 + { \frac{ 1 }{ 10 } } F { \left( 0 , P_0 \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1,1 \\ 1 \end{pmatrix}
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P_2
}
{ =} { P_1 + { \frac{ 1 }{ 10 } } F { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } , P_1 \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 11 }{ 10 } } \\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} { \left( { \frac{ 11 }{ 10 } } \right) }^2 - { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 1 \\ { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 11 }{ 10 } } \cdot 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 11 }{ 10 } } \\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} { \frac{ 111 }{ 100 } } \\ { \frac{ 11 }{ 100 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \\ { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P_3
}
{ =} { P_2 + { \frac{ 1 }{ 10 } } F { \left( { \frac{ 2 }{ 10 } } , P_2 \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \\ { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} { \left( { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \right) } ^2 - { \frac{ 2 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \\ { \frac{ 2 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \cdot { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \\ { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} { \frac{ 1264321 }{ 1000000 } } \\ { \frac{ 2448642 }{ 10 000 000 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 133743210 }{ 100 000 000 } } \\ { \frac{ 103548642 }{ 100 000 000 } } \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
}
Wer erwähnen kurz eine weitere approximative Lösungsmöglichkeit für Differentialgleichungen, siehe hierzu den Anhang und die Übungen.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei ein
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {x' = F(t,x) \text{ mit } x(0) = (c_1 , \ldots , c_n) \in \R^n} { }
zu einem
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbdisp {F} {I \times \R^n} {\R^n
} {}
gegeben, wobei die Komponentenfunktionen
\mathbed {F_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {polynomial}{}{}
\zusatzklammer {oder durch Potenzreihen gegeben} {} {}
seien. Dann lässt sich ein \stichwort {Potenzreihenansatz} {} für die Lösung durchführen. Das bedeutet, dass man den Ansatz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_i
}
{ = }{ \sum_{k = 0}^\infty a_{ki} t^{k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit unbestimmten Koeffizienten $a_{ki}$ macht, und diese Koeffizienten
\zusatzklammer {bis zu einem gewünschten Grad} {} {}
aus den $n$ Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x'_i(t)
}
{ =} { F_i(t, x_1(t) , \ldots , x_n(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sukzessive bestimmt. Die Anfangsbedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_i(0)
}
{ =} { a_{0i}
}
{ =} { c_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
legen dabei die konstanten Koeffizienten der Potenzreihen fest. In das Differentialgleichungssystem werden die Potenzreihen links und rechts eingesetzt und ausgewertet, wobei die Ableitung links formal zu nehmen ist und rechts die Reihen formal zu addieren und zu multiplizieren sind. Dies ergibt Gleichungen für Potenzreihen in $t$, die durch Koeffizientenvergleich, beginnend mit den Koeffizienten von kleinem Grad, gelöst werden können.
}
\zwischenueberschrift{Lineare Differentialgleichungssysteme}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes reelles Intervall}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
ist, deren Einträge allesamt
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\maabbeledisp {a_{ij}} {I} {\R
} {t} {a_{ij}(t)
} {,}
sind, heißt \definitionswort {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{} oder \definitionswort {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem}{.}
}
Es handelt sich also um die Differentialgleichung zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {I \times \R^n} {\R^n } {(t,v)} {f(t,v) = (M(t))v = \begin{pmatrix} a_{11}(t)v_1 + \cdots + a_{1n}(t)v_n \\\vdots\\ a_{n1}(t)v_1 + \cdots + a_{nn}(t)v_n \end{pmatrix} } {.}
Dieses Vektorfeld ist zu jedem fixierten Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {{\R}^n} {{\R}^n
} {v} {M(t)v
} {.}
Ausgeschrieben liegt das Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v'_1 \\\vdots\\ v'_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}(t)v_1 + \cdots + a_{1n}(t)v_n \\\vdots\\ a_{n1}(t)v_1 + \cdots + a_{nn}(t)v_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor. Es gibt immer die Nulllösung, also die konstante Abbildung mit dem Nullvektor als Wert, diese nennt man auch die triviale Lösung.
Für lineare Differentialgleichungssysteme gibt es wieder eine inhomogene Variante.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes reelles Intervall}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} { Mv+z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
ist, deren Einträge allesamt
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\maabbeledisp {a_{ij}} {I} {\R
} {t} {a_{ij}(t)
} {,}
sind und wobei
\maabbeledisp {z} {I} {\R^n
} {t} {z(t) = \begin{pmatrix} z_1(t) \\\vdots\\ z_n(t) \end{pmatrix}
} {,}
eine Abbildung ist, heißt \definitionswort {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{} oder \definitionswort {inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem}{.} Die Abbildung $z$ heißt dabei \definitionswort {Störabbildung}{.}
}
Insgesamt liegt das Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} v'_1 \\\vdots\\ v'_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}(t)v_1 + \cdots + a_{1n}(t)v_n +z_1(t) \\\vdots\\ a_{n1}(t)v_1 + \cdots + a_{nn}(t)v_n +z_n(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z_1(t) \\\vdots\\ z_n(t) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{}
vor.
Die explizite Lösbarkeit eines solchen Systems hängt natürlich von der Kompliziertheit der beteiligten Funktionen \mathkor {} {a_{ij}} {und} {z_i} {} ab. In der folgenden Situation kann man das System auf einzelne eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichungen zurückführen und dadurch sukzessive lösen.
{Lineares Differentialgleichungssystem/Trigonalgestalt/Sukzessive Lösbarkeit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und es liege eine
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z_1 \\z_2\\ \vdots\\z_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\maabb {a_{ij}} {I} {\R
} {}
und
\maabb {z_i} {I} {\R
} {}
und den Anfangsbedingungen
\mathdisp {v_i(t_0) =w_i \in \R \text{ für } i=1 , \ldots , n \,\, (t_0 \in I)} { }
vor.}
\faktfolgerung {Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die
\definitionsverweis {inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen}{}{,}
nämlich
\mathdisp {v_n'= a_{nn}(t)v_n + z_n(t) \text{ mit } v_n(t_0)=w_n} { , }
\mathdisp {v_{n-1}'= a_{n-1\, n-1}(t)v_{n-1} +a_{n-1 \, n}(t) v_n(t)+ z_{n-1}(t) \text{ mit } v_{n-1}(t_0)=w_{n-1}} { , }
\mathdisp {v_{n-2}'= a_{n-2\, n-2}(t)v_{n-2} + a_{n-2 \, n-1}(t) v_{n-1}(t)+ a_{n-2 \, n}(t) v_{n}(t) + z_{n-2}(t) \text{ mit } v_{n-2}(t_0)=w_{n-2}} { , }
\mathdisp {\vdots} { }
\mathdisp {v_{1}'= a_{1 1}(t)v_{1} + a_{1 2}(t) v_{2}(t) + \cdots + a_{1n}(t) v_{n}(t) + z_{1}(t) \text{ mit } v_{1}(t_0)=w_{1}} { , }
löst.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Die Lösungen eines solchen linearen Differentialgleichungssystems in oberer Dreiecksgestalt stehen also in Bijektion zu den Lösungen der $n$ linearen inhomogenen Differentialgleichungen in einer Ortsvariablen, wobei die Störfunktionen jeweils mit den anderen Lösungen in der beschriebenen Weise zusammenhängen. Insbesondere übertragen sich Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.
Auch wenn man ein homogenes System lösen möchte, so muss man in den Einzelschritten inhomogene Differentialgleichungen lösen.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {homogene lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^\prime
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ t } } & t-1 \\ 0 & { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die zweite Zeile dieses Systems bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } \cdot y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das ist eine homogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Ihre Lösungen sind
gemäß Satz 29.2
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { c { \left( t^2+1 \right) }
}
{ =} { ct^2+c
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die erste Zeile des Systems führt daher auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ t } } x + (t-1) y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ t } } x + c(t-1) { \left( t^2+1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ t } } x + c { \left( t^3-t^2+t-1 \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dies ist eine
\definitionsverweis {inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen}{}{.}
Die zugehörige homogene Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ t } } x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt $t$ als eine Lösung.
Nach Satz 29.10
müssen wir eine Stammfunktion von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c { \frac{ t^3-t^2+t-1 }{ t } }
}
{ =} { c { \left( t^2-t+1- { \frac{ 1 }{ t } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden, eine solche ist
\mathdisp {c { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 - { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 +t - \ln t \right) } +d} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ t { \left( c { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 - { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 +t - \ln t \right) } +d \right) }
}
{ =} { { \frac{ c }{ 3 } } t^4 - { \frac{ c }{ 2 } } t^3 +ct^2 - ct \ln t +d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Also ist die allgemeine Lösung des Systems gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ c }{ 3 } } t^4 - { \frac{ c }{ 2 } } t^3 +ct^2 - ct \ln t +d t \\ct^2+c \end{pmatrix}} { . }
}
\zwischenueberschrift{Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten}
Falls die Funktionen $a_{ij}$ alle konstant sind, so spricht man von einem \stichwort {linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten} {,} welche im Wesentlichen mit Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können. Dazu ist es sinnvoll, von vornherein auch komplexe Koeffizienten zuzulassen.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} { Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit Einträgen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{ij}
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, heißt \definitionswort {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{} oder \definitionswort {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} { Mv + z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit Einträgen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und
\maabbdisp {z} {I} {{\mathbb C}^n
} {}
eine Abbildung, heißt \definitionswort {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{} oder \definitionswort {inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{.}
} Die Störfunktion muss also nicht konstant sein.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' +a_0 y + f(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
mit konstanten Koeffizienten, d.h. die $a_i$ sind reelle
\zusatzklammer {oder komplexe} {} {}
Zahlen. Das
gemäß Lemma 40.14
zugehörige Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_0 \\v_1\\ \vdots\\v_{n-2}\\ v_{n-1} \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_{n-1}\\ h(t, v_0,v_1 , \ldots , v_{n-1}) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_i
}
{ \defeq} { y^{(i)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ h (t, v_0,v_1 , \ldots , v_{n-1})
}
{ \defeq} {-a_{n-1} v_{n-1} - \cdots - a_1y v_1-a_0 v_0 - f(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird in dieser Situation zum
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} v_0 \\v_1\\ \vdots\\v_{n-2}\\ v_{n-1} \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 & 1\\
-a_{0} & -a_1 & \ldots & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_0 \\v_1\\ \vdots\\\vdots\\ v_{n-2}\\ v_{n-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\0\\ \vdots\\\vdots\\ 0\\ -f(t) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}