Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 55/latex
\setcounter{section}{55}
\zwischenueberschrift{Der Satz über die injektive Abbildung}
Als ein weiteres Korollar aus dem Satz über die Umkehrabbildung besprechen wir die Situation, wo das totale Differential injektiv ist.
\inputfaktbeweis
{Satz über die injektive Abbildung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt,}
\faktvoraussetzung {in dem das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
$U$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass
\mathl{\varphi {{|}}_{U}}{} injektiv ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
des totalen Differentials
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Nach
[[Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt/Faktreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (1)]]
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( B \right) }
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir
ergänzen
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $B$ durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-k}}{} zu einer Basis von $W$ und setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ \langle w_1 , \ldots , w_{n-k} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} {G \times C} {W
} {(v,w)} { \varphi(v) +w
} {,}
wobei links und rechts zwei $n$-dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {G \times C \stackrel{\varphi \times \operatorname{Id}_C \, }{\longrightarrow} W \times C \stackrel{+}{ \longrightarrow} W} { }
auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
und das totale Differential ist
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P} + i_C}{,} wobei
\maabb {i_C} {C} {W
} {}
die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
im Punkt
\mathl{(P,0)}{,} da sowohl $B$ als auch $C$ zum Bild gehören, und somit
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
Wir können also
den Satz über die Umkehrabbildung
anwenden und erhalten
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ \subseteq }{ G \times C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_2
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{(\varphi \times \operatorname{Id}_C) {{|}}_{U_1}}{} ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
zwischen
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_3 \times U_4
}
{ \subseteq }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U_3
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ U_4
}
{ \subseteq }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist die Abbildung
\maabbdisp {\varphi {{|}} _{U_3}} {U_3} {W
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da dies die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {U_3 \longrightarrow U_3 \times U_4 \longrightarrow U_2 \subseteq W} { }
mit
\mathl{Q \mapsto (Q,0)}{} ist.
\zwischenueberschrift{Lipschitz-Bedingungen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RLipschitz.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Rudolf Lipschitz (1832-1903)} }
\bildlizenz { RLipschitz.jpeg } {} {Ahellwig} {Commons} {PD} {}
Wir kehren zu Differentialgleichungen zurück und wollen den Satz von Picard-Lindelöf beweisen, einen wichtigen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Lösungen. Dafür wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ einer \definitionswort {Lipschitz-Bedingung}{} genügt, wenn es eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t,u)-f(t,v)} \Vert
}
{ \leq} { L \cdot \Vert {u-v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u ,v
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Die reelle Zahl $L$ nennt man auch eine \stichwort {Lipschitz-Konstante} {} für das Vektorfeld $f$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ \definitionswort {lokal}{} einer \definitionswort {Lipschitz-Bedingung}{} genügt, wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t,v)
}
{ \in }{ I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (t,v)
}
{ \in} { I' \times U'
}
{ \subseteq} { I \times U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass das auf
\mathl{I' \times U'}{} eingeschränkte Vektorfeld einer
\definitionsverweis {Lipschitz-Bedingung}{}{}
genügt.
}
Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
\inputfaktbeweis
{Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {\R^n
} { (t,v_1 , \ldots , v_n)} { f(t,v_1 , \ldots , v_n)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$ derart,}
\faktvoraussetzung {dass die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
nach $v_j$ existieren und
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind.}
\faktfolgerung {Dann genügt $f$
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (t,v)
}
{ = }{ (t,v_1 , \ldots , v_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt in
\mathl{I \times U}{} und sei
\mathdisp {U { \left( t,\epsilon \right) } \times U { \left( v,\epsilon \right) }} { }
eine offene Umgebung von $P$ innerhalb von
\mathl{I \times U}{} derart, dass auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ =} { B \left( t,\epsilon \right) \times B \left( v,\epsilon \right)
}
{ \subseteq} { I \times U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dieses $B$ ist eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Umgebung}{}{}
von $P$ und daher
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Da die partiellen Ableitungen
\mathl{{ \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } }}{} nach Voraussetzung
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind, gibt es nach
Satz 36.12
eine gemeinsame Schranke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q)} \Vert
}
{ \leq} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gibt es für die Matrizen
\mathl{{ \left( { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q) \right) }_{1 \leq i,j \leq n}}{} eine Schranke $L$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \left( { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q) \right) }_{1 \leq i,j \leq n} } \Vert
}
{ \leq} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ U { \left( t,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Lemma 51.3
anwenden und erhält für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,u'
}
{ \in }{ U { \left( v,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(s,u)-f(s,u')} \Vert
}
{ \leq} { L \cdot \Vert { u - u'} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Abbildungsräume und Supremumsnorm}
Wir stellen noch einige funktionalanalytische Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf bereit. Wir verallgemeinern den Begriff der punktweisen \zusatzklammer {gleichmäßigen} {} {} Konvergenz von Funktionenfolgen auf metrische Räume.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und
\maabbdisp {f_n} {T} {M
} {}
\zusatzklammer {$n \in \N$} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man sagt, dass die Abbildungsfolge \definitionswort {punktweise konvergiert}{,} wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und \maabbdisp {f_n} {T} {M } {} \zusatzklammer {$n \in \N$} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {Abbildungen}{}{,} die \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.} Dann nennt man die Abbildung \maabbeledisp {} {T} {M } {x} {f(x) : = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) } {,} die \stichwort {Grenzabbildung} {} der Abbildungsfolge.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und
\maabbdisp {f_n} {T} {M
} {}
\zusatzklammer {$n \in \N$} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man sagt, dass die Abbildungsfolge \definitionswort {gleichmäßig konvergiert}{,} wenn es eine Abbildung
\maabbdisp {f} {T} {M
} {}
derart gibt, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n_0$ gibt mit
\mathdisp {d { \left( f_n(x) , f(x) \right) } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0 \text{ und alle } x \in T} { . }
}
Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und $f$ ist die Grenzabbildung.
\inputfaktbeweis
{Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es sei}
\faktvoraussetzung {\maabbdisp {f_n} {L} {M
} {}
eine Folge von
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{,}
die
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die Abbildung $f$ konvergiert.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Aufgrund der
\definitionsverweis {gleichmäßigen Konvergenz}{}{}
gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f_n(y), f(y) \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon/3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der
\definitionsverweis {Stetigkeit}{}{}
von $f_{n_0}$ in $x$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f_{n_0} (x), f_{n_0} (y) \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon/3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, y \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese $y$ gilt somit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d { \left( f(x), f(y) \right) }
}
{ \leq} { d { \left( f(x), f_{n_0}(x) \right) } + d { \left( f_{n_0} (x), f_{n_0} (y) \right) } + d { \left( f_{n_0} (y), f(y) \right) }
}
{ \leq} { \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Supremum}{}
\zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {}
von $f$. Es ist eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
oder $\infty$.
Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also $T$ eine Menge und $E$ sei ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung
\maabbdisp {f} {T} {E
} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f(x)} \Vert ,x \in T ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennt dies das \definitionswort {Supremum}{}
\zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {}
von $f$
\zusatzklammer {falls das Supremum nicht existiert, ist dies als $\infty$ zu interpretieren} {} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \operatorname{Abb}(T,E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{;}
dies ist ein
\zusatzklammer {i.A. unendlichdimensionaler} {} {}
reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften
\zusatzklammer {die geeignet zu interpretieren sind, falls $\infty$ auftritt} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Wenn $T$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
ist, so betrachtet man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser ist ein reeller Untervektorraum von $M$. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nichtleer,
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
und
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist, so ist nach
Satz 36.12
das Supremum von
\mathbed {\Vert {f(x)} \Vert} {}
{x \in T} {}
{} {} {} {,}
gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f(x')} \Vert
}
{ \leq }{ \Vert {f(x)} \Vert
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x'
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der \stichwort {Maximumsnorm} {.}
\inputfaktbeweis
{Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
Teilmenge, es sei $E$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ C(T,E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Vektorraum der stetigen Abbildungen}{}{}
von $T$ nach $E$.}
\faktfolgerung {Dann ist $C$, versehen mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,}
ein
\definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbdisp {f_n} {T} {E
} {}
eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine
\definitionsverweis {Grenzabbildung}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
die ebenfalls stetig ist. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f_n(x) -f_m(x)} \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in $E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in $E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge $f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung
\maabbeledisp {f} {T} {E
} {x} {f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)
} {,}
ergibt, gegen die die Funktionenfolge
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}
Da
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets ein $n_0$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen $f$
\zusatzklammer {und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm} {} {.}
Aufgrund von
Lemma 55.8
ist daher $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}