Kurs:Analysis III/Kapitel VI: Lineare partielle Differentialgleichungen im R^n

§1 Das Maximumprinzip für elliptische Differentialgleichungen

Definition 1

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $n\in \mathbb {N}$ ein Gebiet, in dem die stetigen Koeffizientenfunktionen $a_{ij}(x),b_{i}(x),c(x):\Omega \to \mathbb {R} \in C^{0}(\Omega )$ für $i,j=1,\ldots ,n$ erklärt sind. Weiter sei die Matrix $(a_{ij}(x))_{i,j=1,\ldots ,n}$ für alle $x\in \Omega$ symmetrisch. Den linearen, partiellen Differentialoperator zweiter Ordnung ${\mathcal {L}}:C^{2}(\Omega )\to C^{0}(\Omega )$ erklärt durch

(1) ${\mathcal {L}}u(x):=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}u(x)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}u(x)+c(x)u(x),\quad x\in \Omega$

nennen wir elliptisch bzw. degeneriert elliptisch, falls

$\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}>0$ bzw. $\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq 0$

für alle $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ und alle $x\in \Omega$ erfüllt ist. Gibt es Elliptizitätskonstanten $0<m\leq M<+\infty$, so dass

$m|\xi |^{2}\leq \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\leq M|\xi |^{2}$

für alle $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ und alle $x\in \Omega$ richtig ist, so heißt ${\mathcal {L}}$ gleichmäßig elliptisch. Im Falle $c(x)\equiv 0,x\in \Omega$ bezeichnen wir den reduzierten Differentialoperator mit ${\mathcal {M}}u(x):={\mathcal {L}}u(x),x\in \Omega$.

Satz 1 (Eindeutigkeit und Stabilität)

I. ${\mathcal {L}}$ sei ein degeneriert elliptischer Differentialoperator auf dem beschränkten Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ mit der Koeffizientenfunktion $c(x)\leq 0,x\in \Omega$.

II. Es gebe Konstanten $0<m\leq M<+\infty$, so dass

(2) $m\leq a_{11}(x)\leq M,\quad |b_{1}(x)|\leq M,\quad |c(x)|\leq M$ für alle $x\in \Omega ,\quad \Omega \subset B_{M}:={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<M{\Bigr \}}$

erfüllt ist.

III. Schließlich sei $u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$ eine Lösung des Dirichletproblems

(3) ${\mathcal {L}}u(x)=f(x)$ in $\Omega ,\quad u(x)=g(x)$ auf $\partial \Omega$

mit Funktionen $f=f(x)\in C^{0}(\Omega )\cap L^{\infty }(\Omega )$ und $g=g(x)\in C^{0}(\partial \Omega )$

Behauptung: Dann gibt es eine Konstante $\gamma =\gamma (m,M)\in [0,+\infty )$, so dass gilt

(4) $|u(x)|\leq \max _{y\in \partial \Omega }|g(y)|+\gamma (m,M)\sup _{y\in \Omega }|f(y)|,\quad x\in {\overline {\Omega }}.$

Beweis

1. Wir betrachten die Hilfsfunktion $v(x):=e^{\beta x_{1}},x\in {\overline {\Omega }}$ mit zunächst noch beliebigem $\beta >0$. Wir berechnen

${\mathcal {L}}v(x)=a_{11}(x)\beta ^{2}e^{\beta x_{1}}+b_{1}(x)\beta e^{\beta x_{1}}+c(x)e^{\beta x_{1}}$

$\geq e^{\beta x_{1}}{\Bigl (}m\beta ^{2}-M\beta -M{\Bigr )}\geq e^{-\beta (m,M)M},\quad x\in \Omega ,$

wobei wir $\beta =\beta (m,M)$ so groß gewählt haben, dass $m\beta ^{2}-M\beta -M\geq 1$ erfüllt ist.

2. Mit noch zu fixierendem $\varrho >0$ erklären wir die Hilfsfunktion

$w(x):=\pm u(x)+\varrho {\Bigl (}v(x)-e^{\beta M}{\Bigr )}-\max _{y\in \partial \Omega }|g(y)|,\quad x\in {\overline {\Omega }}.$

Wegen $c(x)\leq 0$ in $\Omega$ können wir abschätzen

${\mathcal {L}}w(x):=\pm {\mathcal {L}}u(x)+\varrho {\mathcal {L}}v(x)-c(x)\left(\varrho e^{\beta M}+\max _{y\in \partial \Omega }|g(y)|\right)$

$\geq \pm f(x)+\varrho e^{-\beta M}\geq -\sup _{y\in \Omega }|f(y)|+\varrho e^{-\beta M},\quad x\in \Omega .$

Wählen wir nun $\varrho =e^{\beta (m,M)M}\left(\sup _{y\in \Omega }|f(y)|+\varepsilon \right)$ mit festem $\varepsilon >0$, so folgt

(5) ${\mathcal {L}}w(x)\geq \varepsilon >0$ für alle $x\in \Omega$.

3. Für $x\in \partial \Omega$ berechnen wir

$w(x)=\pm u(x)+\varrho (v(x)-e^{\beta M})-\max _{y\in \partial \Omega }|g(y)|\leq \pm g(x)-\max _{y\in \partial \Omega }|g(y)|\leq 0.$

Nun gilt $w(x)\leq 0$ sogar für alle $x\in {\overline {\Omega }}$. Wäre dieses nämlich nicht der Fall, so existiert ein $z\in \Omega$ mit $w(x)\leq w(z)$ für alle $x\in \Omega$. Dann gilt

${\mathcal {L}}w(z)={\mathcal {M}}w(z)+c(z)w(z)\leq 0$

im Widerspruch zu (5). Also folgt

$\pm u(x)\leq \max _{y\in \partial \Omega }|g(y)|+\varrho e^{\beta M}=\max _{y\in \partial \Omega }|g(y)|+e^{2\beta M}\left(\sup _{y\in \Omega }|f(y)|+\varepsilon \right)$

für alle $x\in {\overline {\Omega }}$ und alle $\varepsilon >0$. Nach Grenzübergang $\varepsilon \downarrow 0$ ergibt sich schließlich

$|u(x)|\leq \max _{y\in \partial \Omega }|g(y)|+\gamma (m,M)\sup _{y\in \Omega }|f(y)|,\quad x\in {\overline {\Omega }}$

mit $\gamma (m,M):=e^{2\beta (m,M)M}$.

q.e.d.

Satz 2 (Das Hopfsche Maximumprinzip)

I. ${\mathcal {M}}={\mathcal {M}}u,u\in C^{2}(\Omega )$ bezeichne einen reduzierten elliptischen Differentialoperator auf dem Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\in \mathbb {N}$.

II. Für $u=u(x)\in C^{2}(\Omega )$ sei die Differentialgleichung

${\mathcal {M}}u(x)\geq 0,\quad x\in \Omega$

erfüllt und $u$ nehme in einem Punkt $z\in \Omega$ ihr Maximum an, d. h.

$u(z)\geq u(x)$ für alle $x\in \Omega$.

Behauptung: Dann folgt $u(x)\equiv u(z)$ für alle $x\in \Omega$.

Beweis

Wir betrachten die nicht leere, in $\Omega$ abgeschlossene Menge

$\Theta :=\left\{x\in \Omega :u(x)=\sup _{y\in \Omega }u(y)=:s\right\}\neq \emptyset$

und zeigen, dass diese Menge offen ist. Da $\Omega$ ein Gebiet ist, folgt durch Fortsetzung die Identität $\Theta =\Omega$ und somit

$u(x)\equiv s=u(z)$ für alle $x\in \Omega$.

Sei also $\xi \in \Theta$ beliebig gewählt. Dann betrachten wir für beliebiges $\eta \in \Omega$ mit

$|\eta -\xi |<{\frac {1}{2}}\operatorname {dist} \,(\xi ,\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega )$

die Kugel $G:=B_{\varrho }(\eta )$ vom Radius $\varrho :=|\eta -\xi |$ um den Punkt $\eta$. Offenbar gilt $G\subset \subset \Omega$ und $\xi \in \partial G$. Wir können also Elliptizitätskonstanten $0<m\leq M<+\infty$ so angeben, dass ${\mathcal {M}}u,u\in C^{2}(G)$ gleichmäßig elliptisch ist. Wäre nun $u(\eta )<s=u(\xi )$ erfüllt, so gilt die Ungleichung

${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(\xi )=\nabla u(\xi )\cdot \nu >0$

im Widerspruch zu $\nabla u(\xi )=0$. Somit folgt $u(\eta )=s$. Da dies für beliebige $\eta \in \Omega$ mit $|\eta -\xi |<{\frac {1}{2}}\operatorname {dist} \,(\xi ,\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega )$ gilt, erhalten wir $B_{r}(\xi )\subset \Theta$ mit einem $0<r<{\frac {1}{2}}\operatorname {dist} \,(\xi ,\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega )$. Also ist $\Theta$ offen.

q.e.d.

Satz 3 (Scharfes Maximumprinzip)

I. Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet und $z\in \partial \Omega$ ein Randpunkt von $\Omega$, für den folgendes gilt: Es gibt eine Kugel $B_{\varrho }(z)$ und eine Funktion $\varphi =\varphi (x)\in C^{2}(B_{\varrho }(z))$ mit $\nabla \varphi (z)\neq 0$ und $\varphi (z)=0$, so dass

$\Omega \cap B_{\varrho }(z)={\Bigl \{}x\in B_{\varrho }(z):\varphi (x)<0{\Bigr \}}$

erfüllt ist.

II. Die Koeffizientenfunktionen $a_{ij}(x),b_{i}(x)\in C^{0}({\overline {\Omega }}),i,j=1,\ldots ,n$ seien so gegeben, dass der reduzierte partielle Differentialoperator

${\mathcal {M}}u(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}u(x)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}u(x),\quad x\in \Omega$

gleichmäßig elliptisch auf $\Omega$ ist.

III. Die Funktion $u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$ genüge der Differentialgleichung

${\mathcal {M}}u(x)\geq 0$ für alle $x\in \Omega$.

IV. Schließlich nehme $u$ in $z$ ihr Maximum an, d. h.

$u(x)\leq u(z)$ für alle $x\in \Omega$

und für ihre dort existierende Ableitung in Richtung der äußeren Normale $\nu$ an $\partial \Omega$ gelte

${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=0.$

Behauptung: Dann folgt $u(x)\equiv u(z)$ für alle $x\in {\overline {\Omega }}$.

Beweis

Wegen Voraussetzung I kann man eine Kugel $G=B_{r}(\xi )$ mit einem $\xi \in \Omega$ und $r>0$ so bestimmen, dass

$G\subset \Omega ,\quad {\overline {G}}\cap \partial \Omega =\{z\},\quad \nu (z)=|z-\xi |^{-1}(z-\xi )$

richtig ist. Wäre nun $u(\xi )<u(z)$ erfüllt, so würde nach dem Hopfschen Randpunktlemma ${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)>0$ folgen, im Widerspruch zu Voraussetzung IV. Also nimmt $u$ ihr Maximum im inneren Punkt $\xi \in \Omega$ an und Satz 2 liefert $u(x)\equiv u(z)$ für alle $x\in \Omega$.

Definition 2

Der lineare elliptische Differentialoperator ${\mathcal {L}}$ heißt stabil, falls es eine Funktion $v(x):\Omega \to (0,+\infty )\in C^{2}(\Omega )$ mit

${\mathcal {L}}v(x)\leq 0$ für alle $x\in \Omega$

gibt.

§2 Quasilineare elliptische Differentialgleichungen

Satz 1 (Eindeutige Lösbarkeit des gemischten Randwertproblems)

I. Es sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ ein beschränktes Gebiet. Der Rand $\partial \Omega$ enthalte eine - eventuell leere - Teilmenge $\Gamma \subsetneqq \partial \Omega$ mit den folgenden Eigenschaften:

a) Die Menge $\partial \Omega \setminus \Gamma$ ist abgeschlossen.

b) Für alle $\xi \in \Gamma$ gibt es ein $\varrho =\varrho (\xi )\in (0,+\infty )$ und eine Funktion $\varphi =\varphi (x)\in C^{2}(B_{\varrho }(\xi ))$ mit $\varphi (\xi )=0$ und $\nabla \varphi (\xi )\neq 0$, so dass gilt

$\Omega \cap B_{\varrho }(\xi )={\Bigl \{}y\in B_{\varrho }(\xi ):\varphi (y)<0{\Bigr \}}.$

II. Die stetigen Funktionen $f=f(x):\partial \Omega \setminus \Gamma \to \mathbb {R}$ und $g=g(x):\Gamma \to \mathbb {R}$ seien vorgelegt.

III. Die beiden Funktionen $u=u(x):{\overline {\Omega }}\to \mathbb {R}$ und $v=v(x):{\overline {\Omega }}\to \mathbb {R}$ der Regularitätsklasse $C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})\cap C^{1}(\Omega \cup \Gamma )$ seien Lösungen des gemischten, quasi linearen, elliptischen Randwertproblems

(1) $\sum _{i,j=1}^{n}A^{ij}(x,\nabla u(x)){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}u(x)+B(x,u(x),\nabla u(x))=0,\quad x\in \Omega ,$

(2) $f(x)=u(x),\quad x\in \partial \Omega \setminus \Gamma ,$

(3) ${\frac {\partial }{\partial \nu }}u(x)=g(x),\quad x\in \Gamma .$

Dabei bezeichnet $\nu =\nu (x):\Gamma \to S^{n-1}$ die äußere Normale auf $\Gamma$ an $\Omega$.

IV. Schließlich gelte

$B_{z}(x,z,p)\leq 0$ für alle $(x,z,p)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{n+1}$.

Behauptung: Dann folgt $u(x)\equiv v(x)$ für alle $x\in {\overline {\Omega }}$.

Beweis

Die Funktion

$w(x):=u(x)-v(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})\cap C^{1}(\Omega \cup \Gamma )$

genügt der linearen, elliptischen Differentialgleichung

(4) $\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}w(x)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}w(x)+c(x)w(x)=0,\quad x\in \Omega ,$

die in einer Umgebung von $\Gamma$ gleichmäßig elliptisch ist. Weiter erfüllt $w$ die homogenen Randbedingungen

$w(x)=0,\quad x\in \partial \Omega \setminus \Gamma$ und ${\frac {\partial }{\partial \nu }}w(x)=0,\quad x\in \Gamma$.

Wegen Voraussetzung IV gilt für den Koeffizienten

$c(x):=\int \limits _{0}^{1}B_{z}(x,v(x)+tw(x),\nabla v(x))\,dt\leq 0$ für alle $x\in \Omega$.

Nach Satz 2 und Satz 3 aus §1 kann $w(x)$ weder in $\Omega$ noch auf $\Gamma$ ihr globales Maximum und globales Minimum annehmen. Somit folgt $w(x)\equiv 0$ bzw.

$u(x)\equiv v(x)$ in $\Omega$.

q.e.d.

§3 Die Wärmeleitungsgleichung

Satz 1 (Fourier-Plancherelsches Integraltheorem)

Der lineare Operator

${\tilde {g}}(x):=\mathbf {F} ^{-1}(g){\Big |}_{x}:=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot x}g(\xi )\,d\xi ,\quad g\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$

kann stetig fortgesetzt werden auf den Hilbertraum

${\mathcal {H}}:=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} :\varphi \ ist\ Lebesgue{\text{-}}messbar\ und\ es\ gilt\ \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|\varphi (\xi )|^{2}\,d\xi <+\infty \right\}$

mit dem inneren Produkt

$(\varphi ,\psi ):=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi ){\overline {\psi }}(\xi )\,d\xi ,\quad \varphi ,\psi \in {\mathcal {H}}.$

Die Abbildung $\mathbf {F} ^{-1}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ besitzt die Umkehrabbildung

${\tilde {f}}(\xi ):=\mathbf {F} (f){\Big |}_{\xi }:=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i\xi \cdot x}f(x)\,dx,\quad f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),$

die wiederum stetig auf ${\mathcal {H}}$ fortgesetzt werden kann. Weiter sind $\mathbf {F}$ und $\mathbf {F} ^{-1}$ isometrische Operatoren auf ${\mathcal {H}}$, d. h.

$(\mathbf {F} \varphi ,\mathbf {F} \psi )=(\varphi ,\psi )=(\mathbf {F} ^{-1}\varphi ,\mathbf {F} ^{-1}\psi )$ für alle $\varphi ,\psi \in {\mathcal {H}}$

und es gilt

$(\mathbf {F} \varphi ,\psi )=(\varphi ,\mathbf {F} ^{-1}\psi )$ für alle $\varphi ,\psi \in {\mathcal {H}}$.

Beweis

Dieser Satz wird später bewiesen.

Definition 1

Wir nennen den Operator $\mathbf {F} :{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ die Fouriertransformation und $\mathbf {F} ^{-1}$ die inverse Fouriertransformation.

Definition 2

Die Funktion

$K(x,y,t):=(4\pi t)^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left\{{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}\right\},\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\quad y\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in \mathbb {R} _{+}$

nennen wir die Kernfunktion der Wärmeleitungsgleichung.

Satz 2 (Parabolisches Maximum-Minimum-Prinzip)

Sei $u=u(x,y)\in C^{2}(\Omega _{T})\cap C^{0}(\Omega _{T}\cup \Delta \Omega _{T})$ eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung

$\Delta _{x}u(x,t)-{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)=0,\quad (x,t)\in \Omega _{T}$

Dann folgt

$\min _{(\xi ,\tau )\in \Delta \Omega _{T}}u(\xi ,\tau )=:m\leq u(x,t)\leq M:=\max _{(\xi ,\tau )\in \Delta \Omega _{T}}u(\xi ,\tau ),\quad (x,t)\in \Omega _{T}.$

Beweis

Durch eine Anwendung auf die Hilfsfunktionen

$u(x,t)-M$ und $m-u(x,t),(x,t)\in \Omega _{T}\cup \Delta \Omega _{T}$

erhält man sofort die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Eindeutigkeitssatz für die Wärmeleitungsgleichung)

Gegeben sei die beschränkte, stetige Funktion $f=f(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})$. Dann gibt es genau eine beschränkte Lösung $u$ des Anfangswertproblems für die Wärmeleitungsgleichung zu dieser Funktion $f$, d. h.

(1) $u=u(x,t)\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )\cap C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty ),\mathbb {R} ),$

(1) $\Delta _{x}u(x,t)-{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)=0$ in $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}$,

(1) $u(x,0)=f(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},$

(1) $\sup _{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}}|u(x,t)|<+\infty .$

Beweis

Seien $u=u(x,t)$ und $v=v(x,t)$ zwei Lösungen von (1), so setzen wir

$M:=\sup _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}}|u(x,t)|+\sup _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}}|v(x,t)|\in [0,+\infty ).$

Für die Funktion

$w(x,t)=u(x,t)-v(x,t)\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )\cap C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty ),\mathbb {R} )$

gilt dann

(2) $\Delta _{x}u(x,t)-{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)=0$ in $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}$,

(2) $u(x,0)=f(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},$

(2) $|w(x,t)|\leq M$ für alle $(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty )$.

Wir wählen nun Zahlen $T\in \mathbb {R} _{+}$ sowie $R\in \mathbb {R} _{+}$ und erklären zu der Kugel $B_{R}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<R\}$ den parabolischen Zylinder

$B_{R,T}:={\Bigl \{}(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}:x\in B_{R},t\in (0,T]{\Bigr \}}$

mit dem parabolischen Rand

$\Delta B_{R,T}={\Bigl \{}(x,t)\in {\overline {B_{R}}}\times [0,T]:x\in \partial B_{R}{\text{ oder }}t=0{\Bigr \}}.$

Auf $B_{R,T}$ betrachten wir sowohl die Lösung $w(x,t)$ des Problems (2) als auch die Funktion

(3) $W(x,t):={\frac {2nM}{R^{2}}}\left({\frac {|x|^{2}}{2n}}+t\right).$

Die Funktion $W$ genügt der Differentialgleichung

$\left(\Delta _{x}-{\frac {\partial }{\partial t}}\right)W(x,t)={\frac {2nM}{R^{2}}}\left(1-1\right)=0,\quad (x,t)\in B_{R,T}$

und auf dem parabolischen Rand gilt

$|w(x,t)|\leq W(x,t),\quad (x,t)\in \Delta B_{R,T}.$

Anwendung des parabolischen Maximum-Minimum-Prinzips liefert nun

(4) $|w(x,t)|\leq W(x,t)={\frac {2nM}{R^{2}}}\left({\frac {|x|^{2}}{2n}}+t\right),\quad (x,t)\in B_{R,T}.$

Lassen wir nun $R\to +\infty$ in Formel (4) streben, so folgt

$w(x,t)=0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (0,T]$

mit beliebigem $T\in \mathbb {R} _{+}$. Somit haben wir $w(x,t)\equiv 0$ bzw. $u(x,t)\equiv v(x,t)$ in $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}$.

q.e.d.

§4 Charakteristische Flächen

Definition 1

Sei $\varphi =\varphi (y_{1},\ldots ,y_{n+1}):\Omega \to \mathbb {R} \in C^{2}(\Omega )$ eine nicht konstante Funktion, für welche die Menge

${\mathcal {F}}:={\Bigl \{}y\in \Omega :\varphi (y)=0{\Bigr \}}$

nicht leer ist. Wir nennen ${\mathcal {F}}$ eine charakteristische Fläche für die Differentialgleichung

(1) ${\mathcal {L}}u(y):=\sum _{j,k=1}^{n+1}a_{jk}(y){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}u(y)+\sum _{j=1}^{n+1}b_{j}(y){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}u(y)+c(y)u(y)=h(y),$

falls die zugehörige quadratische Form

(2) $Q[\varphi ](y):=\sum _{j,k=1}^{n+1}a_{jk}(y){\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}}(y){\frac {\partial \varphi }{\partial y_{k}}}(y),\quad y\in \Omega$

die Bedingung

$Q[\varphi ](y)=0$ für alle $y\in {\mathcal {F}}$

erfüllt. Andererseits heißt ${\mathcal {F}}$ nicht charakteristische Fläche, wenn gilt

$Q[\varphi ](y)\neq 0$ für alle $y\in {\mathcal {F}}$.

Im Falle $n=1$ sprechen wir von charakteristischen bzw. nicht charakteristischen Kurven.

Definition 2

Zu dem Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ und Zahlen $-\infty \leq t_{1}<t_{2}\leq +\infty$ betrachten wir die Dose

$\Omega _{t_{1},t_{2}}:={\Bigl \{}(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} :x\in \Omega ,t\in (t_{1},t_{2}){\Bigr \}}.$

Wir erklären den d'Alembert-Operator $\Box :C^{2}(\Omega _{t_{1},t_{2}})\to C^{0}(\Omega _{t_{1},t_{2}})$ durch

(3) $\Box u(x_{1},\ldots ,x_{n},t):={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x_{1},\ldots ,x_{n},t)-c^{2}\Delta _{x}u(x_{1},\ldots ,x_{n},t)$

für $(x_{1},\ldots ,x_{n},t)\in \Omega \times (t_{1},t_{2})$. Dabei ist $c>0$ eine feste positive Konstante (welche im physikalischen Kontext die Lichtgeschwindigkeit darstellt).

Satz 1 (Energieabschätzung für die Wellengleichung)

Der Punkt $(\xi ,\tau )=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n},\tau )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}$ mit dem zugehörigen Kegel

$K=K(\xi ,\tau ):={\Bigl \{}(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}:t\in (0,\tau ),|x-\xi |<c(\tau -t){\Bigr \}}$

sei gegeben. Weiter sei $u=u(x,t)\in C^{2}(K)\cap C^{1}({\overline {K}})$ eine Lösung der homogenen Wellengleichung

(4) $\Box u(x,t)+q(x,t){\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)=0$ in $K$.

Hierbei ist $q=q(x,t)\in C^{0}(K,[0,+\infty ))$ ein nicht negatives, stetiges Potenzial auf $K$.

Dann gilt für alle $s\in (0,\tau )$ die Energieungleichung

(5) $\int \limits _{x:|x-\xi |<c(\tau -s)}\left\{c^{2}|\Delta _{x}u(x,s)|^{2}+\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,s)\right|^{2}\right\}\,dx\leq \int \limits _{x:|x-\xi |<c\tau }\left\{c^{2}|\Delta _{x}u(x,0)|^{2}+\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,0)\right|^{2}\right\}\,dx.$

Beweis

1. Mit Hilfe der Transformation $(x,t)\mapsto (c(x+\xi ),t)$ ziehen wir uns auf den Fall $\xi =0,c=1$ zurück. Die Koeffizientenmatrix des d'Alembert-Operators hat dann die Form

(6) $(a_{jk})_{j,k=1,\ldots ,n+1}={\begin{pmatrix}-1&0&\ldots &0\\0&\ddots &&\vdots \\\vdots &&-1&0\\0&\ldots &0&+1\end{pmatrix}}.$

Für $s\in (0,\tau )$ betrachten wir die Dose

$D=D(s):={\Bigl \{}(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}:t\in (0,\tau )|x|<\tau -t,t\in (0,s){\Bigr \}},$

dessen Rand $\partial D={\mathcal {F}}_{0}\cup {\mathcal {F}}_{s}\cup {\mathcal {F}}$ aus den drei Hyperflächen ${\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{s}$ und ${\mathcal {F}}$ besteht. Dabei ist ${\mathcal {F}}=\partial D\cap \partial K(0,\tau )$ eine charakteristische Fläche für die Differentialgleichung (4) mit der äußeren Normale

$\nu =\nu (x,t)=(\nu _{1}(x,t),\ldots ,\nu _{n}(x,t),\nu _{n+1}(x,t))=({\tilde {\nu }}(x,t),\nu _{n+1}(x,t))$

$=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {x}{|x|}},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),\quad (x,t)\in {\mathcal {F}}.$

Für die Flächen

${\mathcal {F}}_{0}:={\Bigl \{}(x,t)\in \partial D\setminus \partial K(0,\tau ):t=0{\Bigr \}}$

bzw.

${\mathcal {F}}_{s}:={\Bigl \{}(x,t)\in \partial D\setminus \partial K(0,\tau ):t=s{\Bigr \}}$

erhalten wir die äußere Normale

$\nu =\nu (x,0)=(0,\ldots ,0,-1),\quad (x,0)\in {\mathcal {F}}_{0},$

$\nu =\nu (x,s)=(0,\ldots ,0,+1),\quad (x,s)\in {\mathcal {F}}_{s}.$

2. Wir multiplizieren nun (4) mit $2u_{t}(x,t)$ und berechnen

(7) $0=2u_{t}(u_{tt}-\Delta _{x}u(x,t))+2q(x,t)(u_{t}(x,t))^{2}$

$={\frac {\partial }{\partial t}}{\Bigl [}(u_{t})^{2}{\Bigr ]}-2\operatorname {div} _{x}\,(u_{t}\nabla _{x}u)+2\nabla _{x}u_{t}\cdot \nabla _{x}u+2q(u_{t})^{2}$

$={\frac {\partial }{\partial t}}\left[|\nabla _{x}u(x,t)|^{2}+\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)\right|^{2}\right]+\operatorname {div} _{x}\,(-2u_{t}\nabla _{x}u)+2q(u_{t})^{2}$

für $(x,t)\in D$. Integrieren wir (7) mit Hilfe des Gaußschen Satzes über die Dose $D=D(s)$, so erhalten wir

$0=2\int \limits _{D}q(x,t)(u_{t}(x,t))^{2}\,dxdt+\int \limits _{{\mathcal {F}}_{s}}\left\{|\nabla _{x}u(x,s)|^{2}+\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,s)\right|^{2}\right\}\,dx$

$-\int \limits _{{\mathcal {F}}_{0}}\left\{|\nabla _{x}u(x,0)|^{2}+\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,0)\right|^{2}\right\}\,dx$

$+\int \limits _{\mathcal {F}}\left\{-2u_{t}\nabla _{x}u\cdot {\tilde {\nu }}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Bigl (}|\nabla _{x}u|^{2}+|u_{t}|^{2}{\Bigr )}\right\}\,d\sigma (x,t)$

$\geq \int \limits _{{\mathcal {F}}_{s}}{\Bigl \{}|\nabla _{x}u(x,s)|^{2}+|u_{t}(x,s)|^{2}{\Bigr \}}\,dx-\int \limits _{{\mathcal {F}}_{0}}{\Bigl \{}|\nabla _{x}u(x,0)|^{2}+|u_{t}(x,0)|^{2}{\Bigr \}}\,dx.$

Es ist nämlich $q(u_{t})^{2}$ nicht negativ und es gilt

$|2u_{t}\nabla _{x}u\cdot {\tilde {\nu }}|\leq 2|u_{t}||\nabla _{x}u||{\tilde {\nu }}|={\frac {2}{\sqrt {2}}}|u_{t}||\nabla _{x}u|\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Bigl (}|\nabla _{x}u|^{2}+|u_{t}|^{2}{\Bigr )}$

auf ${\mathcal {F}}$. Es folgt also

$\int \limits _{{\mathcal {F}}_{s}}\left\{|\nabla _{x}u(x,s)|^{2}\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,s)\right|^{2}\right\}\,dx\leq \int \limits _{{\mathcal {F}}_{0}}\left\{|\nabla _{x}u(x,0)|^{2}\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,0)\right|^{2}\right\}\,dx.$

q.e.d.

Satz 2 (Eindeutigkeit des Cauchyschen Anfangswertproblems für die Wellengleichung)

Die Voraussetzungen von Satz 1 seien erfüllt und $u=u(x,t)$ genüge zusätzlich den homogenen Cauchyschen Anfangsbedingungen

(8) $u(x,0)=0=u_{t}(x,0)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $|x-\xi |<c\tau$.

Dann folgt $u(x,t)\equiv 0$ auf $K=K(\xi ,\tau )$.

Beweis

Aus den Anfangsbedingungen (8) lesen wir ab

$c^{2}|\nabla _{x}u(x,0)|^{2}+\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,0)\right|^{2}=0,\quad |x-\xi |<c\tau$

und die Energieabschätzung aus Satz 1 liefert

$\int \limits _{x:|x-\xi |<c(\tau -s)}\left\{c^{2}|\Delta _{x}u(x,s)|^{2}+\left|{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,s)\right|^{2}\right\}\,dx=0$ für alle $s\in (0,\tau )$.

Somit folgt $\nabla _{x}u(x,t)\equiv 0\equiv u_{t}(x,t)$ auf $K$ und daher $u(x,t)\equiv \operatorname {const}$. Wiederum aus (8) erhalten wir schließlich

$u(x,t)\equiv 0$ in $K$.

q.e.d.

§5 Die Wellengleichung im $\mathbb {R} ^{n}$ für $n=1,3,2$

Satz 1 (d'Alembert)

Zu vorgegebenen Funktionen $f=f(x)\in C^{2}(\mathbb {R} )$ und $g=g(x)\in C^{1}(\mathbb {R} )$ stellt die Funktion

(1) $u(x,t)={\frac {1}{2}}{\Bigl \{}f(x+ct)+f(x-ct){\Bigr \}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}g(\xi )\,d\xi ,\quad (x,t)\in \mathbb {R} ^{2}$

die eindeutig bestimmte Lösung des Cauchyschen Anfangswertproblems für die eindimensionale Wellengleichung ${\mathcal {P}}(f,g,1)$ dar.

Definition 1

Sei $f=f(x)\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ gegeben. Wir nennen die Funktion

(2) $v=v(x,r)=M(x,r;f):={\frac {1}{\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}f(x+r\xi )\,d\sigma (\xi ),\quad (x,r)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$

den sphärischen Integralmittelwert von $f$ über die Sphäre

$\partial B_{|r|}(x):={\Bigl \{}y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-x|=|r|{\Bigr \}}.$

Satz 2 (F. John)

Zu vorgegebenem $f=f(x)\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $k\geq 2$ gehört die Funktion $v=v(x,r)=M(x,r;f):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ der Regularitätsklasse $C^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )$ an und es gelten die folgenden Aussagen:

a) $v(x,0)=f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

b) $v(x,-r)=v(x,r)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n},\quad r\in \mathbb {R}$.

c) ${\frac {\partial }{\partial r}}v(x,0)=0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

d) ${\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}v(x,r)+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}v(x,r)-\Delta _{x}v(x,r)=0$ im $\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} \setminus \{0\})$.

Beweis

a) Aus (2) ersehen wir $v\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )$ und

$v(x,0)={\frac {1}{\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}f(x)\,d\sigma (\xi )=f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

b) und c) Ebenfalls aus (2) lesen wir sofort ab $v(x,-r)=v(x,r)$ und Differentiation liefert $-v_{r}(x,0)=v_{r}(x,0)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

d) Wir führen auf der Sphäre $S^{n-1}(x):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-x|=1\}$ Polarkoordinaten ein:

$y=x+r\xi ,\quad \xi \in S^{n-1},\quad r>0.$

Nach Kapitel I, §8 wird der Laplaceoperator in diesen Koordinaten zu

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\mathbf {\Lambda } ,$

wobei $\mathbf {\Lambda }$ den Laplace- Beltrami-Operator auf der Sphäre $S^{n-1}$ bezeichnet. In Kapitel I, §8 haben wir die Symmetrie von $\mathbf {\Lambda }$ auf $S^{n-1}$nachgewiesen. Wir erhalten damit für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $r>0$ die Gleichung

$\Delta _{x}v(x,r)={\frac {1}{\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}\Delta _{x}f(x+r\xi )\,d\sigma (\xi )$

$={\frac {1}{\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}\left\{{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\mathbf {\Lambda } \right\}f(x+r\xi )\,d\sigma (\xi )$

$=\left\{{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right\}v(x,r)+{\frac {1}{r^{2}\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}1\cdot \mathbf {\Lambda } f(x+r\xi )\,d\sigma (\xi )$

$=\left\{{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right\}v(x,r)+{\frac {1}{r^{2}\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}(\mathbf {\Lambda } 1)\cdot f(x+r\xi )\,d\sigma (\xi )=\left\{{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right\}v(x,r),$

denn $\mathbf {\Lambda } 1=0$. Also ist die Darbouxsche Differentialgleichung für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $r>0$ erfüllt. Da diese invariant unter der Spiegelung $r\mapsto -r$ ist, bleibt sie gültig für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $r<0$.

q.e.d.

Satz 3 (Kirchhoff)

Es seien Funktionen $f=f(x)\in C^{3}(\mathbb {R} ^{3})$ und $g=g(x)\in C^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ vorgegeben. Dann wird das Cauchysche Anfangswertproblem ${\mathcal {P}}(f,g,3)$ für die dreidimensionale Wellengleichung eindeutig gelöst durch die Funktion

(3) $u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}{\Bigl \{}tM(x,ct;f){\Bigr \}}+tM(x,ct;g)={\frac {1}{4\pi c^{2}t^{2}}}\iint \limits _{|y-x|=ct}{\Bigl \{}tg(y)+f(y)+\nabla f(y)\cdot (y-x){\Bigr \}}\,d\sigma (y)$

für $(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}$.

Beweis

1. Gemäß Satz 2 für den Fall $n=3$ erfüllt die Funktion $v(x,r)=M(x,r;g),(x,r)\in \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {R} \setminus \{0\})$ die Darbouxsche Differentialgleichung

$0=v_{rr}(x,r)+{\frac {2}{r}}v_{r}(x,r)-\Delta _{x}v(x,r)={\frac {1}{r}}\{rv(x,r)\}_{rr}-\Delta _{x}v(x,r).$

Multiplikation mit $r$ liefert

$0={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\{rv(x,r)\}-\Delta _{x}\{rv(x,r)\},\quad (x,r)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} .$

Wir betrachten nun die Funktion

$\psi (x,t):={\frac {1}{c}}{\Bigl \{}ctv(x,ct){\Bigr \}}=tv(x,ct)={\frac {t}{4\pi }}\iint \limits _{|\xi |=1}g(x+ct\xi )\,d\sigma (\xi )$

mit $(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R}$. Diese genügt der Wellengleichung

(4) $\Box \psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)-c^{2}\Delta _{x}\psi (x,t)=0$ im $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R}$

und erfüllt die Anfangsbedingungen

(5) $\psi (x,0)=0,\quad {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,0)=v(x,0)=g(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{3}$.

2. Wie in Teil 1 des Beweises sieht man, dass die Funktion

$\chi (x,t):=tM(x,ct;f)={\frac {t}{4\pi }}\iint \limits _{|\xi |=1}f(x+ct\xi )\,d\sigma (\xi ),\quad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R}$

der Wellengleichung $\Box \chi (x,t)=0$ im $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R}$ genügt. Ferner gilt $\chi \in C^{3}(\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} )$. Wir betrachten nun die Funktion

$\varphi (x,t):={\frac {\partial }{\partial t}}\chi (x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\{tM(x,ct;f)\}=M(x,ct;f)+t{\frac {\partial }{\partial t}}M(x,ct;f)$

$={\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{|\xi |=1}f(x+ct\xi )\,d\sigma (\xi )+{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\left\{\iint \limits _{|\xi |=1}f(x+ct\xi )\,d\sigma (\xi )\right\}$

$={\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{|\xi |=1}{\Bigl \{}f(x+ct\xi )+ct\nabla f(x+ct\xi )\cdot \xi {\Bigr \}}\,d\sigma (\xi ).$

Auch $\varphi$ erfüllt die Wellengleichung und wir haben die Anfangsbedingungen

$\varphi (x,0)=M(x,0;f)=f(x),$

${\frac {\partial }{\partial t}}\varphi (x,0)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\chi (x,0)=c^{2}\Delta _{x}\chi (x,0)=c^{2}{\Bigl \{}t\Delta _{x}M(x,ct;f){\Bigr \}}_{t=0}=0$

für alle $x\in \mathbb {R} ^{3}$.

3. Mit

$u(x,t):=\varphi (x,t)+\psi (x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}{\Bigl \{}tM(x,ct;f){\Bigr \}}+tM(x,ct;g)$

$={\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{|\xi |=1}{\Bigl \{}f(x+ct\xi )+ct\nabla f(x+ct\xi )\cdot \xi +tg(x+ct\xi ){\Bigr \}}\,d\sigma (\xi ).$

für $(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R}$ erhalten wir eine Lösung der Wellengleichung und wegen (5) und obigen Anfangsbedingungen genügt $u$ den Anfangsbedingungen

$u(x,0)=f(x),\quad {\frac {\partial }{\partial t}}u(x,0)=g(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{3}.$

Verwenden wir nun die Substitution $y=x+ct\xi ,d\sigma (y)=c^{2}t^{2}d\sigma (\xi )$, so folgt für alle $(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}$ die Identität

$u(x,t)={\frac {1}{4\pi c^{2}t^{2}}}\iint \limits _{|y-x|=ct}{\Bigl \{}tg(y)+f(y)+\nabla f(y)\cdot (y-x){\Bigr \}}\,d\sigma (y).$

q.e.d.

§6 Die Wellengleichung im $\mathbb {R} ^{n}$ für $n\geq 2$