Kurs:Differentialgeometrie/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	2	0	0	5	0	6	0	0	0	0	0	0	0	0	3	8	24

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum ${}X$ jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}\alpha ,\beta \in \mathbb {R} _{+}$ und sei

${}Y={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\,.$

Zeige, dass die Gauß-Abbildung zu ${}Y$ bijektiv ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Es seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$, wir betrachten den (eingebetteten) Torus

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\,.$

1. Bestimme ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ zu ${}T$.
2. Bestimme im Punkt ${}\left(R-r,\,0,\,0\right)$ und für den Vektor ${}v={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ die Richtungsableitung ${}D_{v}N$.
3. Bestimme im Punkt ${}\left(R-r,\,0,\,0\right)$ und für den Vektor ${}w={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ die Richtungsableitung ${}D_{w}N$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der Differentialform

$\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin(\cos(xy))+y^{10}z^{100})dy\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck ${}D$ mit den Eckpunkten ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {R} ^{2}$ und für die Differentialform ${}xdy$.