Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Standardparabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der induzierten riemannschen Struktur und mit der Parametrisierung
\maabbeledisp {\varphi} {\R} { Y
} {t} { \left( t , \, t^2 \right)
} {,}
die wir als eine
\zusatzklammer {inverse} {} {}
Karte betrachten. Bestimme die riemannsche
\definitionsverweis {Fundamentalfunktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ = }{ g_{11} (t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
derart, dass das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
$TM$ trivial ist. Zeige, dass man über eine differenzierbare Trivialisierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ TM
}
{ \cong }{ M \times \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit Hilfe des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}
auf dem $\R^n$} {} {}
$M$ zu einer
\definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeit}{}{}
machen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den Kreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {induzierten riemannschen Struktur}{}{.}
Die Trivialisierung des
\definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{}
\maabbeledisp {} { S^1 \times \R } { T S^1
} {( a,b, u )} { (a,b, -ub,ua )
} {,}
führt über das Standardskalarprodukt von $\R$ ebenfalls zu einer riemannschen Struktur auf $S^1$. Zeige, dass beide riemannschen Strukturen übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass $L \times M$ in natürlicher Weise ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was ist die
\definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} auf $V$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {
{ \mathcal V } ( M ) } {
{ \mathcal E }^{ 1 } ( M )
} {F} {\omega_F
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \omega_F(P) \right) } (v)
}
{ \defeq} { \left\langle F(P) , v \right\rangle_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was besagt die in
Lemma 16.3 beschriebene Korrespondenz zwischen
\definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{}
und
$1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} in dieser Situation?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe Bemerkung 16.4.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} $\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert $1$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und $\lambda$ ein \definitionsverweis {translationsinvariantes Maß}{}{} auf $V$. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {V \times \cdots \times V} {\R } {(v_1 , \ldots , v_n) } { \pm \lambda (P(v_1 , \ldots , v_n)) } {,} wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei einer
\definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeit}{}{}
die
\definitionsverweis {Kartenabbildungen}{}{}
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
im Allgemeinen keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {T_P(\alpha)} {T_PU} {T_{\alpha(P)} V
} {}
induzieren
\zusatzklammer {wenn
\mathl{T_PU}{} mit
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_P}{} und
\mathl{T_{\alpha(P)} V= \R^n}{} mit dem Standardskalarprodukt versehen ist} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten den Graph $M$ der Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(u,v)} { u^2+uv-v^3
} {,} als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\R^3$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (u,v,u^2+uv-v^3) \mid (u,v) \in \R^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der vom $\R^3$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei
\maabbeledisp {\psi} {\R^2} { M
} {(u,v)} { (u,v,u^2+uv-v^3)
} {,}
die zugehörige Diffeomorphie.
a) Bestimme das totale Differential zu $\psi$ sowie die Bildvektoren
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{.}
b) Bestimme für jeden Punkt der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (u,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Flächeninhalt des von
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{} aufgespannten Parallelogramms.
c) Bestimme für jeden Punkt der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0,v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Flächeninhalt des von
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{} aufgespannten Parallelogramms.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R
} {}
\zusatzklammer {mit \mathlk{m=n -1 \geq 0}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
die in jedem Punkt der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
$M$ über
\mathl{0 \in \R}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus
Korollar 15.6
und der
\definitionsverweis {kanonischen Volumenform}{}{}
$\omega$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau(P,v_1 , \ldots , v_m)
}
{ =} { \pm \Vert {
\operatorname{Grad} \, \varphi ( P ) } \Vert \omega(P, v_1 , \ldots , v_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^\ell
} {}
\zusatzklammer {mit \mathlk{m=n - \ell \geq 0}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{,}
die in jedem Punkt der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
$M$ über
\mathl{0 \in \R^\ell}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten
\mathdisp {\operatorname{Grad} \, \varphi_1 ( P ) , \ldots ,
\operatorname{Grad} \, \varphi_\ell ( P )} { }
für jeden Punkt von
\mathl{P\in M}{} senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus
Korollar 15.6
und der
\definitionsverweis {kanonischen Volumenform}{}{}
$\omega$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau(P,v_1 , \ldots , v_m)
}
{ =} { \pm \Vert {
\operatorname{Grad} \, \varphi_1 ( P ) } \Vert \cdots \Vert {
\operatorname{Grad} \, \varphi_\ell ( P ) } \Vert \omega(P, v_1 , \ldots , v_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {kanonische Flächenform}{}{}
auf der
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^2
}
{ \subset }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mathdisp {x dy \wedge dz -y dx \wedge dz + z dx \wedge dy} { }
ist, wobei $x,y,z$ die Koordinaten des $\R^3$ seien.
}
{} {}
Ein
\definitionsverweis {Vektorbündel}{}{}
\maabb {p} {E} {X
} {}
über einer
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {riemannsches Vektorbündel}{,}
wenn auf jeder Faser $E_x$ ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
erklärt ist mit der Eigenschaft, dass es trivialisierende
\definitionsverweis {Karten}{}{}
\maabbdisp {\alpha} {U} {V \subseteq \R^n
} {}
mit
\maabbdisp {\theta} {E{{|}}_U \cong U \times \R^r } { V \times \R^r
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h_{ij} (Q )
}
{ \defeq} { \left\langle \theta^{-1}(Q,e_i) , \theta^{-1}(Q,e_j) \right\rangle_{\alpha^{-1}(Q)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stetig differenzierbar sind.
Bei einer
\definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeit}{}{}
ist also das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
ein riemannsches Vektorbündel.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {E} {M } {} ein \definitionsverweis {riemannsches Vektorbündel}{}{} über einer \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ und sei \maabb {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} mit dem \definitionsverweis {zurückgezogenen Vektorbündel}{}{} \maabb {} {\varphi^*E} {L } {.} Zeige, dass $\varphi^*E$ in natürlicher Weise ebenfalls ein riemannsches Vektorbündel ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ definiert man zu einem Tangentialvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Norm durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ \sqrt{ \left\langle v , v \right\rangle_P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {TM} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass
\mathl{\R \times \R_+}{} mit der durch die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R \times \R_+} {\R
} {(x,y)} {x^2+y^4
} {,}
gegebenen Bilinearform eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe für jeden Punkt
\mathl{P=(x,y,z)}{} der
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
$K$ eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
in
\mathl{T_PK \subset \R^3}{} an
\zusatzklammer {bezüglich der induzierten
\definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Im $\R^3$ sei das
\definitionsverweis {Ellipsoid}{}{}
\mathdisp {E= { \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+3z^2 \leq 5 \right\} }} { }
und die Ebene
\mathdisp {M= { \left\{ (x,y,z) \mid 7x-3y-2z = 2 \right\} }} { }
gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts
\mathl{M \cap E}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung 16.4 beschriebene Situation anhand einer Fläche im $\R^3$ veranschaulicht.
}
{} {}