Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit
\definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{}
und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, U \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, V \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, W \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
\definitionsverweis {differenzierbaren Vektorbündeln}{}{}
über $X$. Zeige mit Hilfe von
Satz 22.10,
dass es eine Spaltung der Sequenz gibt, also einen Vektorbündelisomorphismus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \cong }{ U \oplus W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der mit den Bündelhomomorphismen verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Das erste und das zweite
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
von $Y$ seien als
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
in $W \times \R^n$ bzw. in
\mathl{W \times \R^n \times \R^n \times \R^n}{} im Sinne von
Bemerkung 24.4
zusammen mit den Bündelprojektionen
\maabbeledisp {\pi} {TY} {Y
} {(P,u)} {P
} {,}
und
\maabbeledisp {q} {TTY} {TY
} {(P,u,v,w)} {(P,u)
} {,}
realisiert. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {\epsilon} {I} { TY
} {t} { (P(t), u(t))
} {,}
auf einem offenen Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert den
\definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [\epsilon]
}
{ = }{ (P(0), u(0), P'(0), u'(0))
}
{ \in }{ TTY
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Unter der
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {T_{(P,u)} (\pi)} {T_{ (P,u)} TY} { T_PY
} {}
zu $\pi$ wird die Klasse
\mathl{[\epsilon]}{} aus (1) auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ \pi \circ \epsilon ]
}
{ =} { [P'(0)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet.
}{Unter der
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabb {T(\pi)} {TTY} {TY
} {}
zu $\pi$ wird
\mathl{(P,u,v,w)}{} auf
\mathl{(P,v)}{} abgebildet.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid x_1^2 + x_2^2 = 1 \right\} }
}
{ \subset} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine implizite Beschreibung des
\definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{}
$TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von
Bemerkung 24.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {\varphi} {W} { \R^k
} {}
eine
$C^2$-\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Abbildung,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ \varphi^{-1} (c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über $c$, die in jedem Punkt
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Man entwickle eine implizite Beschreibung
\zusatzklammer {also mit Gleichungen} {} {}
des
\definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{}
$TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ ähnlich zu
Bemerkung 24.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
$C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I,J
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Intervalle}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ I,J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbeledisp {\varphi} {I \times J} {X
} {(s,t)} { \varphi(s,t)
} {,}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(0,0)
}
{ = }{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\mathl{\varphi {{|}}_{ \{s\} \times J }}{} eine differenzierbare Kurve in $X$ definiert.
}{Zeige, dass durch (1) eine differenzierbare Kurve
\maabbeledisp {} {I} {TX
} {s} { [ \varphi {{|}}_{ \{s\} \times J } ]
} {,}
definiert wird, wobei
\mathl{[ \varphi {{|}}_{ \{s\} \times J } ]}{} den Tangentialvektor dieses Weges im Punkt $(s,0)$ bezeichnet.
}{Zeige, dass durch (2) ein Element in
\mathl{TTY}{} bestimmt ist.
}{Zeige, dass man jedes Element aus
\mathl{TTY}{} durch eine Abbildung $\varphi$ wie oben realisieren kann.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
$C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.}
Wir betrachten zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Abbildungen
\maabbeledisp {\varphi} {I \times J} {X
} {(s,t)} { \varphi(s,t)
} {,}
als Elemente in
\mathl{TTX}{} im Sinne von
Aufgabe 24.5.
Wie verhalten sich diese Realisierungen unter der kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, p^*TX \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, TTX \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, p^*TX \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {} {E} {X
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{}
über einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$X$. Bestimme die
\definitionsverweis {Ränge}{}{}
für die Vektorbündel über $E$ in der kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, V \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, TE \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, p^* TX \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Zusammenhänge}{}{} auf dem Nullbündel auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $X$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Zusammenhänge}{}{} auf einem \definitionsverweis {Vektorbündel}{}{} auf einer einpunktigen \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} $X$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und $E$ ein \definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{} auf $X$, das mit einem \definitionsverweis {Zusammenhang}{}{} versehen sei. Zeige, dass man das Konzept vertikale Ableitung auch längs einer differenzierbaren Abbildung \maabbdisp {\psi} {Z} {X } {} einführen kann, vergleiche hierzu auch Definition 6.5.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, U \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, V \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, W \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
\definitionsverweis {Vektorbündeln}{}{}
über $X$. Es sei
\maabb {\varphi} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
von einem weiteren topologischen Raum $Y$. Zeige, dass der Rückzug zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \varphi^*U \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \varphi^*V \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \varphi^*W \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von Vektorbündeln auf $Y$ führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3 (1+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,}
wir betrachten die
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\zusatzklammer {von Vektorbündeln über $I \times \R$} {} {}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, I \times \R \times \R \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, I \times \R \times \R \times \R \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, I \times \R \times \R \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { , }
wobei die erste Abbildung durch
\mathl{(P,u,w) \mapsto (P,u,0,w)}{} und die zweite Abbildung durch
\mathl{(P,u,v,w) \mapsto (P,u,v)}{} gegeben sei. Es seien
\maabbdisp {g,h} {I \times \R } {\R
} {}
stetig differenzierbare Funktionen.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} {I \times \R \times \R \times \R } {I \times \R \times \R
} {(P,u,v,w)} { (P,u, v g(P,u) +w h(P,u) )
} {,}
ein Vektorbündelhomomorphismus über $I \times \R$ gegeben ist.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konstant. Zeige, dass die Abbildung in (1) eine Spaltung des Bündels in der Mitte definiert.
}{
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die ebene Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid x_1^3 -5x_1x_2 + x_2^4 = 1 \right\} }
}
{ \subset} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine implizite Beschreibung des
\definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{}
$TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von
Bemerkung 24.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (3+2)}
{
Wir betrachten die differenzierbare Fläche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ (x_1,x_2,x_3) \mid x_1^2+x_2^2 -x_3^2 = 0 , \, (x,y,z) \neq 0 \right\} }
}
{ \subseteq} { W
}
{ =} { \R^3 \setminus \{(0,0,0) \}
}
{ \subset} { \R^3
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme eine implizite Beschreibung des
\definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{}
$TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von
Bemerkung 24.5.
} {Berechne für die differenzierbare Kurve
\maabbeledisp {} {I} {Y
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t , \, 1 \right)
} {}
die zughörige Kurve in das Tangentialbündel und in das zweite Tangentialbündel.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ U \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir Funktionen
\maabb {f} {U} {\R
} {}
als
\definitionsverweis {Schnitte}{}{}
in $E$ auffassen. Es sei $E$ mit dem
\definitionsverweis {trivialen Zusammenhang}{}{}
versehen. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nabla (f)
}
{ = }{ df
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für stetig differenzierbare Funktionen.
}
{} {}