Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {E} {M } {} ein \definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{} über einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$, das mit einem \definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{} $\nabla$ versehen sei. Es sei $L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und \maabb {\psi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{} mit dem \definitionsverweis {zurückgezogenen Zusammenhang}{}{} $\psi^*\nabla$ auf dem \definitionsverweis {zurückgezogenen Vektorbündel}{}{} $\psi^*E$ über $L$. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt \maabb {s} {L} {E } {} genau dann \definitionsverweis {horizontal}{}{} bezüglich $\nabla$ ist, wenn der zugehörige Schnitt \maabbdisp {s} {L} { \psi^*E } {} horizontal bezüglich $\psi^* \nabla$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {M \times \R^r } {M } {} das triviale \definitionsverweis {Vektorbündel}{}{} über einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ versehen mit dem \definitionsverweis {trivialen Zusammenhang}{}{} $\nabla$. Es sei $L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und \maabb {\psi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {zurückgezogene Zusammenhang}{}{} $\psi^*\nabla$ \zusatzklammer {auf $L \times \R^r$} {} {} ebenfalls trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {E} {M
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{}
über einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$, das mit einem
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{}
$\nabla$ versehen sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und
\maabb {\gamma} {I} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {zurückgezogenen Zusammenhang}{}{}
$\gamma^*\nabla$ auf dem
\definitionsverweis {zurückgezogenen Vektorbündel}{}{}
$\gamma^*E$ über $I$. Bestimme die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
von
\mathl{\gamma^* \nabla}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung
\maabbeledisp {\psi} {\R } { S^1
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t \right)
} {}
des Einheitskreises. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [0, 2 \pi[
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Auf dem trivialen Vektorbündel
\maabbdisp {} {S^1 \times \R^2} { S^1
} {}
sei ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
$\nabla$ gegeben derart, dass der längs $\psi$
\definitionsverweis {zurückgezogene Zusammenhang}{}{}
$\psi^* \nabla$ durch die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
\zusatzklammer {der Index für die einzige Ableitungsrichtung wird weggelassen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \tilde{\Gamma}_1^1 (t) & \tilde{\Gamma}_1^2 (t) \\ \tilde{\Gamma}_2^1(t) & \tilde{\Gamma}_2^2(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & - { \frac{ c }{ 2 \pi } } \\ { \frac{ c }{ 2 \pi } } & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Wir betrachten zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbeledisp {\Psi_{Q}} {\R} { S^1 \times \R^2
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t , \, M(t) \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \right)
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} \cos { \frac{ ct }{ 2 \pi } } & - \sin { \frac{ ct }{ 2 \pi } } \\ \sin { \frac{ ct }{ 2 \pi } } & \cos { \frac{ ct }{ 2 \pi } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Bestimme $\Psi_Q(0)$.
}{Bestimme $\Psi_Q(2 \pi)$.
}{Zeige, dass $\Psi_Q$ eine
\definitionsverweis {horizontale Liftung}{}{}
längs $\psi$ ist.
}{Zeige, dass
\maabbeledisp {} {\R^2} { \R^2
} {Q} { \Psi_Q(2 \pi)
} {,}
eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{}
ist
\zusatzklammer {der Basispunkt $(1,0)$ wird hier nicht aufgeführt} {} {.}
}{Zeige, dass
\maabbeledisp {} {\Z} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }
} {k} { { \left( Q \mapsto \Psi_Q(2k \pi ) \right) }
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die Kurve \maabbeledisp {\psi} {\R} { {\mathbb H} } {t} { \left( t , \, e^t \right) } {,} in die \definitionsverweis {Halbebene von Poincaré}{}{} ${\mathbb H}$ die \definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{} für den \definitionsverweis {zurückgezogenen Zusammenhang}{}{} \zusatzklammer {zum \definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{} auf ${\mathbb H}$} {} {} auf $\R$.
}
{} {}
Beachte in der folgenden Aufgabe, dass es nach
Aufgabe 11.23
egal ist, ob man den Rückzug des Vektorbündels nach $Y$ direkt oder über $Z$ bestimmt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {E} {M
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{}
über einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$, das mit einem
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{}
$\nabla$ versehen sei. Es seien $Y,Z$ weitere differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildungen}{}{}
\mathdisp {Y \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} Z \stackrel{\psi}{\longrightarrow} M} { . }
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {zurückgezogenen Zusammenhänge}{}{}
auf
\mathl{{ \left( \psi \circ \varphi \right) }^* E}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \psi \circ \varphi \right) }^*(\nabla)
}
{ =} { \varphi^* { \left( \psi^*\nabla \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{} versehen mit dem \definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{} und sei \maabbdisp {\gamma} {I} {M } {} eine zweifach stetig \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.} Zeige, dass $\gamma$ genau dann eine \definitionsverweis {geodätische Kurve}{}{} ist, wenn die Ableitungskurve \maabb {\gamma'} {I} {TM } {} ein \definitionsverweis {horizontaler Schnitt}{}{} im \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} $TM$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
mit einer positiven stetig differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {g} {I} { \R_+
} {,}
die wir als eine
\definitionsverweis {riemannsche Metrik}{}{}
auf $I$ auffassen. Charakterisiere die
\definitionsverweis {geodätischen Kurven}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {J} {I
} {,}
wobei $J$ ein weiteres Intervall bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die Kurve \maabbeledisp {\psi} {\R} { {\mathbb H} } {t} { \left( t , \, e^t \right) } {,} in die \definitionsverweis {Halbebene von Poincaré}{}{} ${\mathbb H}$ die \definitionsverweis {tangentiale Beschleunigung}{}{} für jedes $t$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ und zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die nicht durch eine
\definitionsverweis {geodätische Kurve}{}{}
verbunden werden können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ und zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die durch mehrere
\definitionsverweis {geodätische Kurven}{}{}
miteinander verbunden werden können, die alle die gleiche Länge haben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ und zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die durch mehrere
\definitionsverweis {geodätische Kurven}{}{}
miteinander verbunden werden können, die nicht die gleiche Länge haben.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige, dass das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma_1^{\prime \prime} (t)
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ \gamma_2(t) } } \gamma_1'(t) \gamma_2'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma_2^{\prime \prime} (t)
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \gamma_2(t) } } \gamma_1'(t) \gamma_1'(t) + { \frac{ 1 }{ \gamma_2(t) } } \gamma_2'(t) \gamma_2'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch die Kurven
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} s+r \tanh t \\ { \frac{ r }{ \cosh t } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelöst wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten Kreise mit Mittelpunkt
\mathl{(s,0)}{} und Radius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere, wann sich zwei solche Kreise schneiden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{(a,b)
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt in der
\definitionsverweis {Halbebene von Poincaré}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ (v_1,v_2)
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Tangentenvektor}{}{}
an $P$.
\aufzaehlungzwei {Bestimme einen Halbkreis mit Mittelpunkt auf der $x$-Achse
\zusatzklammer {mit vertikalen Geraden als Extremfall} {} {,}
der durch $P$ verläuft und tangential zu $\R v$ ist.
} {Bestimme eine
\definitionsverweis {geodätische Kurve}{}{,}
die diesen Tangentenvektor realisiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\psi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} zwischen \definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass der \definitionsverweis {zurückgezogene Zusammenhang}{}{} zum \definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{} auf $M$ gleich dem Levi-Civita-Zusammenhang auf $L$ ist. }{Zeige, dass sich die \definitionsverweis {tangentialen Beschleunigungen}{}{} zu einer zweifach differenzierbaren Kurve \maabb {\gamma} {I} {L } {} bzw. \maabb {\psi \circ \gamma} {I} {M } {} entsprechen. }{Zeige, dass sich die \definitionsverweis {geodätischen Kurven}{}{} in $L$ und in $M$ entsprechen. }
}
{} {}
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{,}
wobei das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
$TM$ mit dem
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
versehen sei. Es sei
\maabb {\gamma} {I} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}
Man sagt, dass ein längs $\gamma$ definiertes differenzierbares
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabb {F} {I} { TM
} {}
\definitionswort {parallel längs}{}
$\gamma$ ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\nabla_{\partial} F)(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Für die folgende Aufgabe vergleiche
Aufgabe 25.13.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,}
die wir auch also eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
über den umgebenden Raum $\R^n$ mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
auffassen.
Es sei
\maabb {\gamma} {I} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
und es sei
\maabb {F} {I} { TY \subseteq Y \times \R^n
} {}
ein differenzierbares
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
längs $\gamma$. Zeige, dass $F$ genau dann
\definitionswort {parallel längs}{}
$\gamma$ im Sinne von
Definition 6.6
ist, wenn $F$
\definitionsverweis {parallel}{}{}
längs $\gamma$ bezüglich des
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhangs}{}{}
auf $TY$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{,} wobei das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} $TM$ mit dem \definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{} versehen sei. Es sei \maabb {\gamma} {I} {M } {} eine zweifach \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.} Zeige, dass $\gamma$ genau dann eine \definitionsverweis {geodätische Kurve}{}{} ist, wenn die Ableitung \maabbdisp {\gamma'} {I} {TM } {} ein \definitionsverweis {paralleles Vektorfeld}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf dem \definitionsverweis {euklidischen Raum}{}{} $\R^n$ die \definitionsverweis {riemannsche Metrik}{}{} gleich dem \definitionsverweis {euklidischen Abstand}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten $\R_+$ mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ = }{ t^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {riemannschen Metrik}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {geodätischen Kurven}{}{}
in $\R_+$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+3)}
{
Wir betrachten die Kurve \maabbeledisp {\psi} {\R} { {\mathbb H} } {t} { \left( t , \, 1+t^2 \right) } {,} in die \definitionsverweis {Halbebene von Poincaré}{}{} ${\mathbb H}$. \aufzaehlungzwei {Bestimme die \definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{} für den \definitionsverweis {zurückgezogenen Zusammenhang}{}{} \zusatzklammer {zum \definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{} auf ${\mathbb H}$} {} {} auf $\R$. } {Bestimme die \definitionsverweis {tangentiale Beschleunigung}{}{} von $\psi$ für jedes $t$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {geodätischen Kurven}{}{} auf der \definitionsverweis {hyperbolischen Kreisscheibe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \R^n \setminus \{P_1 , \ldots , P_m \}
}
{ \subseteq} { \R^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
aufgefasst als
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
mit dem induzierten
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{.}
Zeige, dass auf $M$ die
\definitionsverweis {riemannsche Metrik}{}{}
gleich dem
\definitionsverweis {euklidischen Abstand}{}{}
ist.
}
{} {}