Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\psi \colon L\rightarrow M$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel ${}\psi ^{*}E$ über ${}L$. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt ${}s\colon L\rightarrow E$ genau dann horizontal bezüglich ${}\nabla$ ist, wenn der zugehörige Schnitt

$s\colon L\longrightarrow \psi ^{*}E$

horizontal bezüglich ${}\psi ^{*}\nabla$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon M\times \mathbb {R} ^{r}\rightarrow M$ das triviale Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ versehen mit dem trivialen Zusammenhang ${}\nabla$. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\psi \colon L\rightarrow M$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass der zurückgezogene Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ (auf ${}L\times \mathbb {R} ^{r}$) ebenfalls trivial ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ eine stetig differenzierbare Kurve mit dem zurückgezogenen Zusammenhang ${}\gamma ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel ${}\gamma ^{*}E$ über ${}I$. Bestimme die Christoffelsymbole von ${}\gamma ^{*}\nabla$.

Aufgabe *

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung

$\psi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right)$

des Einheitskreises. Es sei ${}c\in [0,2\pi [$ fixiert. Auf dem trivialen Vektorbündel

$S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S^{1}$

sei ein linearer Zusammenhang ${}\nabla$ gegeben derart, dass der längs ${}\psi$ zurückgezogene Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ durch die Christoffelsymbole (der Index für die einzige Ableitungsrichtung wird weggelassen)

${}{\begin{pmatrix}{\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}(t)\\{\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {c}{2\pi }}\\{\frac {c}{2\pi }}&0\end{pmatrix}}\,$

gegeben ist. Wir betrachten zu einem Punkt ${}Q={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ die Abbildung

$\Psi _{Q}\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\times \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,M(t){\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)$

mit

${}M(t)={\begin{pmatrix}\cos {\frac {ct}{2\pi }}&-\sin {\frac {ct}{2\pi }}\\\sin {\frac {ct}{2\pi }}&\cos {\frac {ct}{2\pi }}\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme ${}\Psi _{Q}(0)$.
2. Bestimme ${}\Psi _{Q}(2\pi )$.
3. Zeige, dass ${}\Psi _{Q}$ eine horizontale Liftung längs ${}\psi$ ist.
4. Zeige, dass

   $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,Q\longmapsto \Psi _{Q}(2\pi ),$

   eine lineare Isometrie ist (der Basispunkt ${}(1,0)$ wird hier nicht aufgeführt).

5. Zeige, dass

   $\mathbb {Z} \longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,k\longmapsto {\left(Q\mapsto \Psi _{Q}(2k\pi )\right)},$

   ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Bestimme für die Kurve

$\psi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {H} },\,t\longmapsto \left(t,\,e^{t}\right),$

in die Halbebene von Poincaré ${}{\mathbb {H} }$ die Christoffelsymbole für den zurückgezogenen Zusammenhang (zum Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}{\mathbb {H} }$) auf ${}\mathbb {R}$.

Beachte in der folgenden Aufgabe, dass es nach Aufgabe 11.23 egal ist, ob man den Rückzug des Vektorbündels nach ${}Y$ direkt oder über ${}Z$ bestimmt.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Es seien ${}Y,Z$ weitere differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit stetig differenzierbare Abbildungen

$Y{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}Z{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}M.$

Zeige, dass für die zurückgezogenen Zusammenhänge auf ${}{\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}E$ die Beziehung

${}{\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}(\nabla )=\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit versehen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow M$

eine zweifach stetig differenzierbare Kurve. Zeige, dass ${}\gamma$ genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn die Ableitungskurve ${}\gamma '\colon I\rightarrow TM$ ein horizontaler Schnitt im Tangentialbündel ${}TM$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall mit einer positiven stetig differenzierbaren Funktion

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+},$

die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ auffassen. Charakterisiere die geodätischen Kurven

$\gamma \colon J\longrightarrow I,$

wobei ${}J$ ein weiteres Intervall bezeichnet.

Aufgabe *

Bestimme für die Kurve

$\psi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {H} },\,t\longmapsto \left(t,\,e^{t}\right),$

in die Halbebene von Poincaré ${}{\mathbb {H} }$ die tangentiale Beschleunigung für jedes ${}t$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit ${}M$ und zwei Punkte ${}P,Q\in M$, die nicht durch eine geodätische Kurve verbunden werden können.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit ${}M$ und zwei Punkte ${}P,Q\in M$, die durch mehrere geodätische Kurven miteinander verbunden werden können, die alle die gleiche Länge haben.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit ${}M$ und zwei Punkte ${}P,Q\in M$, die durch mehrere geodätische Kurven miteinander verbunden werden können, die nicht die gleiche Länge haben.

Aufgabe *

Bestätige, dass das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

${}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)={\frac {2}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$

und

${}\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=-{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}'(t)+{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$

durch die Kurven

${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}s+r\tanh t\\{\frac {r}{\cosh t}}\end{pmatrix}}\,$

zu ${}s\in \mathbb {R}$, ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ gelöst wird.

Aufgabe

Wir betrachten Kreise mit Mittelpunkt ${}(s,0)$ und Radius ${}r>0$. Charakterisiere, wann sich zwei solche Kreise schneiden.

Aufgabe

Es sei ${}P=(a,b)\in {\mathbb {H} }$ ein Punkt in der Halbebene von Poincaré und sei ${}v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Tangentenvektor an ${}P$.

1. Bestimme einen Halbkreis mit Mittelpunkt auf der ${}x$-Achse (mit vertikalen Geraden als Extremfall), der durch ${}P$ verläuft und tangential zu ${}\mathbb {R} v$ ist.
2. Bestimme eine geodätische Kurve, die diesen Tangentenvektor realisiert.

Aufgabe

Es sei ${}\psi \colon L\rightarrow M$ eine Isometrie zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

1. Zeige, dass der zurückgezogene Zusammenhang zum Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}M$ gleich dem Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}L$ ist.
2. Zeige, dass sich die tangentialen Beschleunigungen zu einer zweifach differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon I\rightarrow L$ bzw. ${}\psi \circ \gamma \colon I\rightarrow M$ entsprechen.
3. Zeige, dass sich die geodätischen Kurven in ${}L$ und in ${}M$ entsprechen.

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, wobei das Tangentialbündel ${}TM$ mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ eine differenzierbare Kurve. Man sagt, dass ein längs ${}\gamma$ definiertes differenzierbares Vektorfeld ${}F\colon I\rightarrow TM$ parallel längs ${}\gamma$ ist, wenn

${}(\nabla _{\partial }F)(t)=0\,$

für alle ${}t\in I$ gilt.

Für die folgende Aufgabe vergleiche Aufgabe 25.13.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, die wir auch also eine riemannsche Mannigfaltigkeit über den umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt auffassen. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve und es sei ${}F\colon I\rightarrow TY\subseteq Y\times \mathbb {R} ^{n}$ ein differenzierbares Vektorfeld längs ${}\gamma$. Zeige, dass ${}F$ genau dann parallel längs ${}\gamma$ im Sinne von Definition 6.6 ist, wenn ${}F$ parallel längs ${}\gamma$ bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs auf ${}TY$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, wobei das Tangentialbündel ${}TM$ mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ eine zweifach differenzierbare Kurve. Zeige, dass ${}\gamma$ genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn die Ableitung

$\gamma '\colon I\longrightarrow TM$

ein paralleles Vektorfeld ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem euklidischen Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ die riemannsche Metrik gleich dem euklidischen Abstand ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten ${}\mathbb {R} _{+}$ mit der durch ${}g(t)=t^{2}$ gegebenen riemannschen Metrik. Bestimme die geodätischen Kurven in ${}\mathbb {R} _{+}$.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten die Kurve

$\psi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {H} },\,t\longmapsto \left(t,\,1+t^{2}\right),$

in die Halbebene von Poincaré ${}{\mathbb {H} }$.

1. Bestimme die Christoffelsymbole für den zurückgezogenen Zusammenhang (zum Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}{\mathbb {H} }$) auf ${}\mathbb {R}$.
2. Bestimme die tangentiale Beschleunigung von ${}\psi$ für jedes ${}t$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die geodätischen Kurven auf der hyperbolischen Kreisscheibe.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$ und sei

${}M=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{m}\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,$

aufgefasst als riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem induzierten Standardskalarprodukt. Zeige, dass auf ${}M$ die riemannsche Metrik gleich dem euklidischen Abstand ist.