Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Dies gibt Anlass zu einer vertikalen Ableitung, zu jedem Vektorfeld ${}V\colon M\rightarrow TM$ und jedem stetig differenzierbaren Schnitt

$s\colon M\longrightarrow E$

ist ${}\nabla _{V}s$ der stetige Schnitt in ${}E$, der durch

$M{\stackrel {V}{\longrightarrow }}TM{\stackrel {T(s)}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}E$

gegeben ist. Auf einer offenen Menge ${}U\subseteq M$ mit ${}U\cong V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und den partiellen Ableitungen ${}\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ und einer Trivialisierung

${}E{|}_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\,$

mit Basisschnitten ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ wird eine solche vertikale Ableitung durch die Christoffelsymbole ${}\Gamma _{ij}^{k}$ mit

${}\nabla _{\partial _{i}}(s_{j})=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\,$

wegen Fakt vollständig beschrieben. Dieses Konzept möchte man nicht nur für Schnitte über ${}M$, sondern auch für Schnitte

$s\colon L\longrightarrow E$

längs einer fixierten differenzierbaren Abbildung

$\psi \colon L\longrightarrow M$

zur Verfügung haben, wenn also ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}&&&E\\&&s\nearrow &\downarrow \\&L&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&M\!\\\end{matrix}}$

vorliegt. Man beachte, dass ein Schnitt

$s\colon L\longrightarrow E$

dasselbe ist wie ein Schnitt

${\tilde {s}}\colon L\longrightarrow \psi ^{*}(E)=E\times _{X}Y$

im zurückgezogenen Vektorbündel ${}\psi ^{*}(E)$. Zu einem Vektorfeld ${}F$ auf ${}L$ und einem solchen Schnitt kann man die entsprechende Hintreeinanderschaltung von Abbildungen

$L{\stackrel {F}{\longrightarrow }}TL{\stackrel {T(s)}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}E$

betrachten, die wir wieder mit ${}\nabla _{F}s$ bezeichnen. Den über diese vertikale Ableitung festgelegten Zusammenhang nennen wir den zurückgezogenen Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$. Er erfüllt die folgenden Eigenschaften.

Lemma

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Es sei ${}\psi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel ${}\psi ^{*}E$ über ${}L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Abbildung

   $\psi ^{*}\nabla \colon C^{1}(\psi ^{*}E)\longrightarrow C^{0}(\psi ^{*}E\otimes T^{*}L),\,s\longmapsto {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}(s),$

   ist ${}\mathbb {R}$-linear. Insbesondere ist ${}\psi ^{*}\nabla$ ein linearer Zusammenhang.

2. Für eine Einschränkung

   $\psi \colon U'\longrightarrow U$

   auf offene Kartengebiete mit Koordinaten ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ von ${}U'$ und Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ von ${}U$ gilt für die Christoffelsymbole ${}{\tilde {\Gamma }}_{\ell j}^{k}$ von ${}\psi ^{*}\nabla$ und Basisschnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ die Beziehung

   ${}{\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\Gamma _{i\ell }^{k}\,.$

Beweis

1. Klar.
2. Wir betrachten direkt die lokale Situation. Einen Basisschnitt ${}s_{\ell }$ längs ${}L$ kann man direkt als einen Basisschnitt über ${}M$ auffassen. Die relevanten Abbildungen sind

   $U'{\stackrel {\partial _{j}}{\longrightarrow }}TU'{\stackrel {T(\psi )}{\longrightarrow }}T(U){\stackrel {T(s_{\ell })}{\longrightarrow }}T(U\times \mathbb {R} ^{r}){\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}.$

   Dabei ist

   ${}T(\psi )\circ \partial _{j}=\partial _{j}\psi =\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\partial _{i}\,.$

   Für ${}Q\in U'$ ist somit unter Verwendung von Fakt

   ${}{\begin{aligned}{\left({\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}(s_{\ell })\right)}(Q)&={\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}(Q)}(s_{\ell })(Q)\\&=\nabla _{{\left(T(\psi )\circ \partial _{j}\right)}(Q)}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\nabla _{\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\partial _{i}}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\nabla _{\partial _{i}}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q){\left(\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q))s_{k}(\psi (Q))\right)}\\&=\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q))\right)}s_{k}(\psi (Q)).\end{aligned}}$

   Betrachten der ${}k$-ten Komponente liefert

   ${}{\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}(Q)=\sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q)){\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\,.$

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Lemma

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$, das mit einem metrischen linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Es sei ${}\psi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel ${}\psi ^{*}E$ über ${}L$.

Dann ist auch ${}\psi ^{*}\nabla$ metrisch.

Beweis

Zunächst ist nach Aufgabe ${}\psi ^{*}E$ wieder ein riemannsches Bündel. Wir betrachten die lokale Situation

$\psi \colon U'\longrightarrow U$

und ${}E=U\times \mathbb {R} ^{r}$ und entsprechend ${}\psi ^{*}E=U'\times \mathbb {R} ^{r}$. Die beschreibenden Funktionen

${}h_{\ell m}=\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle \,$

der riemannschen Struktur auf ${}E$ hängen auf ${}U$ und auf ${}U'$ unmittelbar über ${}\psi$ zusammen. Es sei ${}\partial _{j}$ ein Standardvektorfeld auf ${}U'$ und ${}s_{\ell },s_{m}$ Basischnitte in ${}E$. Es ist

${}{\begin{aligned}\partial _{j}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle &=\partial _{j}{\left(h_{\ell ,m}\circ \psi \right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}{\left(\partial _{i}h_{\ell ,m}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\partial _{i}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle .\end{aligned}}$

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\left\langle {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle &=\left\langle \sum _{k=1}^{r}{\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{r}\left\langle {\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{r}\left\langle \sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i\ell }^{k}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle \end{aligned}}$

und entsprechend

${}\left\langle s_{\ell },{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{m}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle s_{\ell },\nabla _{\partial _{i}}s_{m}\right\rangle \,.$

Da ${}\nabla$ metrisch ist folgt

${}\partial _{j}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle =\left\langle {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle +\left\langle s_{\ell },{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{m}\right\rangle \,$

und daraus folgt mit Aufgabe, dass ${}\psi ^{*}\nabla$ metrisch ist.

$\Box$