Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition

Christoffelsymbole

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Dann nennt man zu jedem offenen Kartengebiet ${}U\subseteq X$ mit Koordinaten ${}x_{i}$ (und den zugehörigen Ableitungsfeldern ${}\partial _{i}$) und auf dem ${}E$ trivialisiert mit Basisschnitten ${}s_{j}$, die durch die Gleichungen

${}\nabla _{\partial _{i}}s_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\,$

definierten Funktionen

$\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezüglich der Trivialisierungen.