Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die reelle Ebene sei mit der euklidischen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Berechne ${}\nabla _{F}G=$ zu den Vektorfeldern

${}F(x,y)=\left(x^{2}-y^{3},\,xy+y^{2}\right)\,$

und

${}G(x,y)=\left(e^{xy^{2}},\,x^{3}-x^{2}y^{5}\right)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei

${}g(t)=3+t^{2}\,,$

die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ interpretieren. Bestimme die vertikale Ableitung (zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang) ${}\nabla _{\partial }{\left(t^{3}-\sin \left(t^{2}\right)\right)}$.

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ interpretieren. Bestimme die horizontalen Schnitte zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}I\times \mathbb {R}$ (siehe Beispiel 26.4).

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel ${}TM$ trivial ist, und sei auf ${}M$ über eine differenzierbare Trivialisierung ${}TM\cong M\times \mathbb {R} ^{n}$ (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$) eine riemannsche Struktur gegeben (siehe Aufgabe 16.2). Zeige, dass der Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}M$ der triviale Zusammenhang ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {H} }$ die Halbebene von Poincaré mit der zugehörigen riemannschen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang. Bestimme die vertikale Ableitung ${}\nabla _{\partial _{1}+\partial _{2}}(G)$ zum Vektorfeld

${}G(x,y)=\left(x^{5}-y^{3}+2xy,\,4x^{2}+y^{3}\right)\,.$

Aufgabe *

Es sei ein linearer Zusammenhang ${}\nabla$ auf dem Tangentialbündel ${}TX$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$ gegeben. Es gebe Basisschnitte ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit

${}\nabla _{V_{i}}V_{j}-\nabla _{V_{j}}V_{i}=[V_{i},V_{j}]\,$

für alle ${}i,j$. Zeige, dass ${}\nabla$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel eines offenen Intervalls ${}I\subseteq \mathbb {R}$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Es sei ${}\nabla$ der durch die Christoffelsymbole

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

gegebene lineare Zusammenhang, der durch

${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$

gekennzeichnet ist. Zeige in zwei Schritten, dass ${}\nabla$ die Koszul-Formel aus Lemma 26.10 erfüllt.

1. Für die Basisfelder ${}\partial _{i}$.
2. Für beliebige Vektorfelder ${}V,W,Z$.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf ${}TM$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}\nabla$ lokal für Basisfelder ${}\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ die Eigenschaft

${}\partial _{i}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \partial _{j},\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right\rangle \,$

für alle ${}i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass ${}\nabla$ metrisch ist.

Das Konzept eines metrischen Zusammenhangs gibt es nicht nur auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit, sondern allgemeiner auf einem riemannschen Vektorbündel.

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein riemannsches Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$. Ein linearer Zusammenhang auf ${}E$ heißt metrisch, wenn auf jeder offenen Menge

${}D_{V}\left\langle s,t\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}s,t\right\rangle +\left\langle s,\nabla _{V}t\right\rangle \,$

für ein stetig differenzierbares Vektorfeld ${}V$ und stetig differenzierbare Schnitte ${}s,t$ in ${}E$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und sei

$p\colon E=I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow I$

das triviale Vektorbündel über ${}I$, das wir mit dem Standardskalarprodukt als riemannsches Vektorbündel auffassen. Zeige, dass ein linearer Zusammenhang ${}\nabla$ auf ${}E$ genau dann metrisch ist, wenn die Christoffelsymbole die Bedingung (alles bezieht sich auf die einzige Ableitungsrichtung ${}\partial$)

${}\Gamma _{j}^{k}=-\Gamma _{k}^{j}\,$

für ${}1\leq j,k\leq n$ erfüllen.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein riemannsches Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf ${}E$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}\nabla$ lokal für die Standardvektorfelder ${}\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ und Basisschnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ von ${}E$ die Eigenschaft

${}\partial _{i}\left\langle s_{j},s_{k}\right\rangle =\left\langle \nabla _{\partial _{i}}s_{j},s_{k}\right\rangle +\left\langle s_{j},\nabla _{\partial _{i}}s_{k}\right\rangle \,$

für alle ${}i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass ${}\nabla$ metrisch ist.

Für die folgende Aufgabe vergleiche Aufgabe 10.16

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und ${}\varphi \colon V\rightarrow U\subseteq Y$ eine ${}C^{2}$-diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq Y$ durch eine offene Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{d}$, wobei wir ${}\varphi$ auch als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}&TV&{\stackrel {T(\partial _{j})}{\longrightarrow }}&TTV&\\\!\!\!\!\!\,\,\,\varphi \downarrow &&\!\!\!\!\!T(\varphi )\downarrow &&\downarrow TT(\varphi )\!\!\!\!\!&&\\U&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&TU&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&TTU&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt. Wie kann man die Abbildungen in den Diagonalen beschreiben?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei

${}g(t)=1+t^{4}\,,$

die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ interpretieren. Bestimme die vertikale Ableitung (zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang) ${}\nabla _{\partial }{\left(3e^{-t^{2}}+t\cos \left(t\right)-t^{5}\right)}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne ${}\Gamma _{12}^{1},\Gamma _{12}^{2},\Gamma _{22}^{1},\Gamma _{22}^{2}$ in Beispiel 18.8.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {H} }$ die Halbebene von Poincaré mit der zugehörigen riemannschen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang. Bestimme die vertikale Ableitung ${}\nabla _{xy\partial _{1}-2y^{3}\partial _{2}}(G)$ zum Vektorfeld

${}G(x,y)=\left(x^{4}-2y^{2},\,3x^{3}-\ln \left(1+x^{2}y^{2}\right)\right)\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\nabla$ ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Durch wie viele unabhängige Christoffelsymbole wird er (in Abhängigkeit von ${}n$) bestimmt?