Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 26

Der Levi-Civita-Zusammenhang auf einer offenen Menge

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}g_{ij}$ gegeben. Wir haben die Koordinatenfunktionen ${}x_{i}$ und die zugehörigen konstanten Vektorfelder ${}\partial _{i}$. Ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentalbündel ${}U\times \mathbb {R} ^{n}$ wird durch Ableitungen

${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$

beschrieben. Es wird sich herausstellen, dass man durch die folgende Wahl einen Zusammenhang erhält, der eng mit der riemannschen Struktur verbunden ist.

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Man nennt die auf ${}U$ definierten reellwertigen Funktionen

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang.

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Man nennt den auf ${}U$ durch die Christoffelsymbole

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

festgelegten linearen Zusammenhang auf ${}TU=U\times \mathbb {R} ^{n}$ den Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, die mit der induzierten riemannschen Struktur des ${}\mathbb {R} ^{n}$ versehen sei.

Dann ist der Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$ trivial. Insbesondere gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Christoffelsymbole sind

   ${}\Gamma _{ij}^{k}=0\,$

   für alle ${}i,j,k$.

2. Es ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=0\,$

   für die Standardvektorfelder ${}\partial _{i}$.

3. Es ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}(f_{j})\partial _{j}\,$

   für differenzierbare Funktionen ${}f_{j}$.

4. Zu einem Vektorfeld ${}V$ und einem differenzierbaren Vektorfeld ${}W$ auf ${}U$ ist

   ${}(\nabla _{V}W)(P)={\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}\,.$

Beweis

Die riemannschen Fundamentalfunktionen ${}g_{ij}$ sind jedenfalls konstant und daher verschwinden ihre partiellen Ableitungen, die in die Definition der Christoffelsymbole eingehen. Nach Bemerkung 25.8 liegt daher der triviale Zusammenhang vor. Die anderen Eigenschaften ergeben sich aus Aufgabe 25.11.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ interpretieren, siehe Beispiel 16.10. Das einzige Christoffelsymbol für den Levi-Civita-Zusammenhang ist

${}\Gamma ={\frac {1}{2}}g^{-1}g'\,,$

das ist bis auf den Vorfaktor die logarithmische Ableitung von ${}g$. Die vertikale Ableitung ist

${}\nabla _{\partial }\partial ={\frac {g'}{2g}}\partial \,,$

wobei ${}\partial$ die Ableitung auf ${}I$ bezeichnet. Angewendet auf eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ (bzw. das Richtungsfeld ${}f\partial$) ist

${}\nabla _{\partial }(f)=\partial f+f{\frac {g'}{2g}}=f'+f{\frac {g'}{2g}}\,$

nach Satz 25.5.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen versehen mit einer durch differenzierbare Funktionen

$g_{11},g_{12},g_{22}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

gegebenen riemannschen Struktur mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$.

Dann sind die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$ gleich

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}{\left(g^{k1}(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{i1}-\partial _{1}g_{ij})+g^{k2}(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{i2}-\partial _{2}g_{ij})\right)}\,.$

Wenn ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte zweifach stetig differenzierbare Fläche ist und mit der durch den umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Struktur versehen wird, und

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, eine lokale zweifach differenzierbare Parametrisierung von ${}Y$ ist, so stimmen diese Christoffelsymbole mit den mit Hilfe des umgebenden Raumes definierten Christoffelsymbolen überein.

Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Definition 26.1. Die zweite Aussage folgt daraus und aus Lemma 19.5.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben. Dann erfüllen die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$ die Bedingung

${}\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition und der Symmetrie von ${}{\left(g_{ij}\right)}$.

$\Box$

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel 18.8 an, d.h. wir betrachten die Halbebene von Poincaré ${}\mathbb {H}$ mit den riemannschen Fundamentalfunktionen ${}g_{11}=g_{22}={\frac {1}{y^{2}}}$ und ${}g_{12}=0$. Nach Lemma 26.5 ist

${\frac {1}{2}}{\left(g^{k1}(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{i1}-\partial _{1}g_{ij})+g^{k2}(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{i2}-\partial _{2}g_{ij})\right)}$

${}\Gamma _{11}^{1}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}\partial _{1}\left({\frac {1}{y^{2}}}\right)\right)}=0\,,$

${}\Gamma _{11}^{2}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}{\left(-\partial _{2}\left({\frac {1}{y^{2}}}\right)\right)}\right)}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}{\left(-\left({\frac {-2}{y^{3}}}\right)\right)}\right)}={\frac {1}{y}}\,$

und ähnlich ${}\Gamma _{12}^{1}=-{\frac {1}{y}}$, ${}\Gamma _{12}^{2}=0$, ${}\Gamma _{22}^{1}=0$, ${}\Gamma _{22}^{2}=-{\frac {1}{y}}$.

Der Levi-Civita-Zusammenhang

Wir möchten das Konzept den Levi-Civita-Zusammenhangs von einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit einer riemannschen Struktur auf eine beliebige riemannsche Mannigfaltigkeit ausdehnen. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, zu zeigen, dass der direkte Ansatz für offene Kartengebiete auf den Überlappungen verträglich ist. Dazu führt man die folgenden Begriffe ein.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ gegeben. Der Zusammenhang heißt torsionsfrei, wenn

${}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,$

für stetig differenzierbare Vektorfelder ${}V,W$ auf jeder offenen Menge gilt.

Definition

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ gegeben. Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn

${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$

für stetig differenzierbare Vektorfelder ${}V,W,Z$ auf jeder offenen Menge gilt.

Lemma

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang ${}\nabla$ auf dem Tangentialbündel ${}TM$ gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei.

Dann gilt für stetig differenzierbare Vektorfelder ${}V,W,Z$ auf jeder offenen Menge die sogenannte Koszul-Formel

$\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle -\left\langle W,[V,Z]\right\rangle -\left\langle Z,[W,V]\right\rangle +\left\langle V,[Z,W]\right\rangle \right)}\,.$

Insbesondere kann es nur einen Zusammenhang mit diesen Eigenschaften geben.

Beweis

Wegen der Torsionsfreiheit gilt

${}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,,$

${}\nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V=[V,Z]\,$

und

${}\nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W=[W,Z]\,,$

wobei wir die erste Identität auch als

${}\nabla _{V}W+\nabla _{W}V=2\nabla _{V}W-[V,W]\,$

auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten

${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,,$

${}D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle =\left\langle \nabla _{W}Z,V\right\rangle +\left\langle Z,\nabla _{W}V\right\rangle \,$

und

${}D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{Z}V,W\right\rangle +\left\langle V,\nabla _{Z}W\right\rangle \,.$

Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten

$D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W+\nabla _{W}V,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W,V\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V,W\right\rangle \,.$

In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten

${}{\begin{aligned}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle &=\left\langle 2\nabla _{V}W-[V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle -\left\langle [V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle .\end{aligned}}$

Eine Umstellung ergibt die Formel.

Aufgrund der Gleichung ist ${}\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle$ für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld ${}Z$ gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung ${}\nabla _{V}W$ und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Es sei ${}\nabla$ der durch die Christoffelsymbole

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

gegebene Levi-Civita-Zusammenhang, der durch

${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$

gekennzeichnet ist. Dann erfüllt ${}\nabla$ die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   $\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle \right)}\,.$

2. Er erfüllt die Koszul-Formel aus Lemma 26.10.
3. Er ist torsionsfrei.
4. Er ist metrisch.

Beweis

1. Es ist

   ${}D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =\partial _{k}{\left(g_{ij}\right)}\,.$

   Ferner ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle &=\left\langle \sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\left\langle \,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{n}{\left(\sum _{r=1}^{n}g^{\ell r}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}\right)}g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{r=1}^{n}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}{\left(\sum _{\ell =1}^{n}g^{\ell r}g_{\ell k}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ik}-\partial _{k}g_{ij}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle \right)}.\end{aligned}}$

2. Da die Lie-Klammern ${}[\partial _{i},\partial _{j}]$ auf ${}U$ trivial sind, gilt die Koszul-Formel für die Basisfelder ${}\partial _{i}$ nach Teil (1). Für den allgemeinen Fall siehe Aufgabe 26.7.
3. Nach Lemma 26.6 und wegen ${}[\partial _{i},\partial _{j}]=0$ ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}\,.$

   Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe 26.5.

4. Nach Teil (1) ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{k},\partial _{j}\right\rangle &={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{k},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle -D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle \right)}\\&=D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle .\end{aligned}}$

   Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe 26.8.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es auf dem Tangentialbündel ${}TX$ einen eindeutig bestimmten torsionsfreien, metrischen, linearen Zusammenhang.

Beweis

Nach Lemma 26.10 kann es höchstens einen solchen Zusammenhang geben. Nach Lemma 26.11 kann man lokal für ein Kartengebiet explizit einen Zusammenhang mit den geforderten Eigenschaften angeben. Wegen der eben zitierten Eindeutigkeit stimmen die so konstruierten Zusammenhänge auf den Durchschnitten der Karten überein.

$\Box$

Definition

Es sei ${}X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Der lokal durch die Christoffelsymbole definierte Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TX$ heißt Levi-Civita-Zusammenhang.

Satz

Es sei ${}X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang ${}\nabla$ die folgenden Eigenschaften.

1. ${}\nabla$ ist linear.
2. ${}\nabla$ ist metrisch, d.h.

   ${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$

3. ${}\nabla$ ist torsionsfrei, d.h. es ist

   ${}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,.$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 26.11.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach differenzierbare Fläche, versehen mit der durch den umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Struktur.

Dann stimmt der Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}Y$ mit dem (über die orthogonale Projektion auf die Tangentialräume gegebenen) Zusammenhang aus Bemerkung 24.8 überein.

Beweis

Beide Zusammenhänge sind linear, daher genügt es, die Gleichheit der zugehörigen vertikalen Ableitungen lokal für Basisfelder zu zeigen. Sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen und

$\varphi \colon V\longrightarrow U$

eine lokale zweifach stetig differenzierbare Parametrisierung einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq Y$. Es seien ${}\partial _{1},\partial _{2}$ die beiden konstanten Richtungsfelder auf ${}V$. Für den Levi-Civita-Zusammenhang ist

${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{2}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}\,,$

wobei die Christoffelsymbole unter Bezug auf

${}g_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \,$

definiert sind. Nach Lemma 26.5 erfüllen diese Christoffelsymbole auch die Bedingungen

${}\partial _{i}\partial _{j}\varphi =\Gamma _{ij}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ij}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{ij}N\,,$

wobei ${}N$ das Einheitsnormalenfeld bezeichnet und ${}h_{ij}$ die Einträge aus der zweiten Fundamentalmatrix sind (alles aufgefasst auf ${}V$).

Die Vektorfelder ${}\partial _{i}$ auf ${}V$ entsprechen auf ${}U\subseteq Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ den Vektorfeldern ${}{\left(\partial _{i}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}$. Nach Definition der vertikalen Ableitung zu dem eingeschränkten Zusammenhang muss man

$U{\stackrel {{\left(\partial _{i}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T{\left({\left(\partial _{j}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}\right)}}{\longrightarrow }}TTU{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}TU$

betrachten und dies ergibt die orthogonale Projektion von ${}{\left(\partial _{i}\partial _{j}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}$ auf das Tangentialbündel an ${}Y$, was mit ${}\Gamma _{ij}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ij}^{2}\partial _{2}\varphi$, aufgefasst über ${}U$, übereinstimmt (siehe hierzu auch Aufgabe 26.11).

$\Box$

Diese Aussage gilt entsprechend auch für beliebige abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit der induzierten riemannschen Struktur.

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